Couverture des produits dérivés par minimisation locale de critères de risque convexes

Hedging Contingent Claims by Convex Local Risk-Minimization

• Auteur / Autrice : Nicolas Millot
• Direction : Frédéric Abergel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/02/2012
• Etablissement(s) : Châtenay-Malabry, Ecole centrale de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Châtenay-Malabry, Hauts de Seine)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques et informatique pour la complexité et les systèmes (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Huyên Pham
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Abergel, Martin Schweizer, Bruno Bouchard-Denize, Denis Talay

Mots clés

Mots clés contrôlés

Risque financier

Finances -- Modèles mathématiques

Produits dérivés (marketing)

Mots clés libres

Minimisation locale du risque

EDP non-linéaires

EDSR quadratiques

Local risk-minimization

Non-linear PDE

Quadratic FBSDE

Résumé

On s'intéresse dans cette thèse à la couverture des produits dérivés dans des marchés incomplets. L'approche choisie peut se voir comme une extension des travaux de M. Schweizer sur la minimisation locale du risque quadratique. En effet, tout en restant dans le cadre de la modélisation des actifs par des semimartingales, notre méthode consiste à remplacer le critère de risque quadratique par un critère de risque plus général, sous la forme d'une fonctionnelle convexe du coût local. Nous obtenons d'abord des résultats d'existence, d'unicité et de caractérisation des stratégies optimales dans un marché sans friction, en temps discret et en temps continu. Puis nous explicitons ces stratégies dans le cadre de modèles de diffusion avec et sans sauts. Nous étendons également notre méthode au cas où la liquidité n'est plus infinie. Enfin nous montrons par le biais de simulations numériques les effets du choix de la fonctionnelle de risque sur la constitution du portefeuille optimal.

This thesis deals with the issue of hedging contingent claims in incomplete markets. The way we tackle this issue may be seen as an extension of M. Schweizer's work on quadratic local risk-minimization. Indeed, while still modelling assets as semimartingales, our method relies on the introduction of a convex function of the local costs to assess risk, thus relaxing the quadratic assumption. The results we obtain are existence and uniqueness results first and characterizations of optimal strategies in a frictionless market, both in discrete and continuous time settings. We then make those strategies explicit by using diffusion models with and without jumps. We further extend our approach in the case when liquidity is given through a stochastic supply curve. Finally we show the effect of the choice of different risk functions on the optimal portfolio by numerically solving the optimality equations.