Extrapolation vectorielle et applications aux équations aux dérivées partielles

Vector extrapolation and applications to partial differential equations

• Auteur / Autrice : Sébastien Duminil
• Direction : Hassane Sadok
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 06/07/2012
• Etablissement(s) : Littoral
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais)
• Jury : Président / Présidente : Khalid Jbilou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carole Rosier, Gérard A. Meurant
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jocelyne Erhel, Luc Giraud

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthodes multigrilles (analyse numérique)

Schrödinger, Équation de

Navier-Stokes, Équations de

Méthodes de sous-espaces de Krylov

Systèmes non linéaires

Systèmes linéaires

Équations aux dérivées partielles

Analyse numérique

Approximation, Théorie de l'

Mots clés libres

Extrapolation vectorielle

RRE

MPE

MMPE

Systèmes linéaires

Méthodes de Krylov

CMRH

Implémentation parallèle

CMRH préconditionnée

Systèmes non linéaires

Équations de Navier-Stokes

Équations de Schrödinger

Méthodes multigrilles

Vector extrapolation

Reduced Rank Extrapolation

Minimal Polynomial Extrapolation

Modified Minimal Polynomial Extrapolation

Linear systems

Krylov method

CMRH

Parallel implementation

Preconditioned CMRH

Nonlinear systems

Navier-Stokes problem

Schrödinger equation

Multigrid method

Résumé

Nous nous intéressons, dans cette thèse, à l'étude des méthodes d'extrapolation polynômiales et à l'application de ces méthodes dans l'accélération de méthodes de points fixes pour des problèmes donnés. L'avantage de ces méthodes d'extrapolation est qu'elles utilisent uniquement une suite de vecteurs qui n'est pas forcément convergente, ou qui converge très lentement pour créer une nouvelle suite pouvant admettreune convergence quadratique. Le développement de méthodes cycliques permet, deplus, de limiter le coût de calculs et de stockage. Nous appliquons ces méthodes à la résolution des équations de Navier-Stokes stationnaires et incompressibles, à la résolution de la formulation Kohn-Sham de l'équation de Schrödinger et à la résolution d'équations elliptiques utilisant des méthodes multigrilles. Dans tous les cas, l'efficacité des méthodes d'extrapolation a été montrée.Nous montrons que lorsqu'elles sont appliquées à la résolution de systèmes linéaires, les méthodes d'extrapolation sont comparables aux méthodes de sous espaces de Krylov. En particulier, nous montrons l'équivalence entre la méthode MMPE et CMRH. Nous nous intéressons enfin, à la parallélisation de la méthode CMRH sur des processeurs à mémoire distribuée et à la recherche de préconditionneurs efficaces pour cette même méthode.

In this thesis, we study polynomial extrapolation methods. We discuss the design and implementation of these methods for computing solutions of fixed point methods. Extrapolation methods transform the original sequance into another sequence that converges to the same limit faster than the original one without having explicit knowledge of the sequence generator. Restarted methods permit to keep the storage requirement and the average of computational cost low. We apply these methods for computing steady state solutions of incompressible flow problems modelled by the Navier-Stokes equations, for solving the Schrödinger equation using the Kohn-Sham formulation and for solving elliptic equations using multigrid methods. In all cases, vector extrapolation methods have a useful role to play. We show that, when applied to linearly generated vector sequences, extrapolation methods are related to Krylov subspace methods. For example, we show that the MMPE approach is mathematically equivalent to CMRH method. We present an implementation of the CMRH iterative method suitable for parallel architectures with distributed memory. Finally, we present a preconditioned CMRH method.