Elimination des quantificateurs dans le cadre quasi-analytique

Quantifier elimination in the quasi-analytic framework

• Auteur / Autrice : Francois Michas
• Direction : Jean-Philippe Rolin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/06/2012
• Etablissement(s) : Dijon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Daniel Panazzolo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Le Gal, Lucy Moser-Jauslin, Patrick Speissegger
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Daniel Panazzolo, Jean-Marie Lion

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des ensembles

Élimination des quantificateurs

Algèbres de fonctions

Géométrie analytique

Mots clés libres

Géométrie analytique réelle

Algèbres quasianalytiques

Structures o-minimales

Théorème de Tarski-Seidenberg

Théorème de préparation

Real analytic geometry

Quasianalytic algebras

O-minimal structures

Tarsk-Seidenberg theorem

Preparation theorem

Résumé

Nous associons à tout polydisque compact B [appartenant à] Rn une algèbre CB de fonctions réelles de classe C∞ définies au voisinage de B. La collection des algèbres CB est supposée stable par certaines opérations, dont la composition et la dérivation partielle. Nous supposons de plus que, lorsque B est centrée à l’origine, l’algèbre des germes à l’origine des éléments de CB est quasianalytique (c’est à dire qu’elle ne contient pas de germe plat). A l’aide de ces fonctions, nous définissons des ensembles C-semi- analytiques et C-sous-analytiques comme on le fait traditionnellement en géométrie analytique réelle. Notre résultat principal est un théorème du type Tarski-Seidenberg pour ces ensembles. Son énoncé dit essentiellement que les ensembles sous-C-analytiques peuvent être définis par des égalités et des inégalités satisfaites par des termes obtenus en composant des fonctionsdes algèbres C_B , les fonctions x → x1/n , et la fonction x → 1/x. Sa preuve se fait en exprimant les solutions de sytèmes d’équations quasianalytiques au moyen d’un théorème de préparation issu de la théorie des modèles

We associate to every compact polydisk B [belonging to ] Rn an algebra CB of real functions defined in a neighborhood of B. The collection of these algebras is supposed to be closed under several operations, such as composition and partial derivatives. Moreover, if the center of B is the origin, we assume that the algebra of germs at the origin of elements of CB is quasianalytic (it does not contain any flat germ). We define with these functions the collection of C-semianalytic and C-subanalytic sets according to the classical process in real analytic geometry. Our main result is an analogue of Tarski-Seidenberg's usual result for these sets. It says that the sub-C-subanalytic sets may be described by means of equalities and inequalities by terms obtained by composition of elements of the algebras CB, the functions x->^{1/n} and the function x->1/x. It is proved via a model theoretic preparation theorem