Analyse numérique d'EDPS hautement oscillantes

Numerical analysis of highly oscillatory Stochastic PDEs

• Auteur / Autrice : Charles-Edouard Bréhier
• Direction : Erwan Faou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/11/2012
• Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Arnaud Debussche, Anne de Bouard, François Delarue, Florent Malrieu, Andreas Prohl
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sandra Cerrai, Tony Lelièvre

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse multiéchelle

Monte-Carlo, Méthode de

Équations aux dérivées partielles stochastiques -- Solutions numériques

Mots clés libres

Equations aux dérivées partielles stochastiques

Méthodes de Monte-Carlo

Méthodes numériques

Systèmes multi-échelles

Stochastic partial differential equations

Monte-Carlo methods

Numerical methods

Multiscale systems

Résumé

Dans une première partie, on s'intéresse à un système d'EDP stochastiques variant selon deux échelles de temps, et plus particulièrement à l'approximation de la composante lente à l'aide d'un schéma numérique efficace. On commence par montrer un principe de moyennisation, à savoir la convergence de la composante lente du système vers la solution d'une équation dite moyennée. Ensuite on prouve qu'un schéma numérique de type Euler fournit une bonne approximation d'un coefficient inconnu apparaissant dans cette équation moyennée. Finalement, on construit et on analyse un schéma de discrétisation du système à partir des résultats précédents, selon la méthodologie dite HMM (Heterogeneous Multiscale Method). On met en évidence l'ordre de convergence par rapport au paramètre d'échelle temporelle et aux différents paramètres du schéma numérique- on étudie les convergences au sens fort (approximation des trajectoires) et au sens faible (approximation des lois). Dans une seconde partie, on étudie une méthode d'approximation de solutions d'EDP paraboliques, en combinant une approche semi-lagrangienne et une discrétisation de type Monte-Carlo. On montre d'abord dans un cas simplifié que la variance dépend des pas de discrétisation- enfin on fournit des simulations numériques de solutions, afin de mettre en avant les applications possibles d'une telle méthode.

In a first part, we are interested in the behavior of a system of Stochastic PDEs with two time-scales- more precisely, we focus on the approximation of the slow component thanks to an efficient numerical scheme. We first prove an averaging principle, which states that the slow component converges to the solution of the so-called averaged equation. We then show that a numerical scheme of Euler type provides a good approximation of an unknown coefficient appearing in the averaged equation. Finally, we build and we analyze a discretization scheme based on the previous results, according to the HMM methodology (Heterogeneous Multiscale Method). We precise the orders of convergence with respect to the time-scale parameter and to the parameters of the numerical discretization- we study the convergence in a strong sense - approximation of the trajectories - and in a weak sense - approximation of the laws. In a second part, we study a method for approximating solutions of parabolic PDEs, which combines a semi-lagrangian approach and a Monte-Carlo discretization. We first show in a simplified situation that the variance depends on the discretization steps. We then provide numerical simulations of solutions, in order to show some possible applications of such a method.