Questions d’euclidianité

Questions on euclideanity

• Auteur / Autrice : Pierre Lezowski
• Direction : Jean-Paul Cerri, Renaud Coulangeon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 07/12/2012
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Guillaume Hanrot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christine Bachoc, Karim Belabas, Damien Stehlé
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gabriele Nebe, Denis Simon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Minimum inhomogène

Minimum euclidien

Quaternions

Espaces euclidiens

Théorie des ensembles

Corps algébriques

Théorie algorithmique des nombres

Mots clés libres

Corps de nombres euclidien

Minimum euclidien

Minimum inhomogène

Classes euclidiennes

Corps de quaternions

Théorie algorithmique des nombres

Euclidean number field

Euclidean minimum

Inhomogeneous minimum

Euclidean ideal classes

Quaternion fields

Algorithmic number theory

Résumé

Nous étudions l'euclidianité des corps de nombres pour la norme et quelques unes de ses généralisations. Nous donnons en particulier un algorithme qui calcule le minimum euclidien d'un corps de nombres de signature quelconque. Cela nous permet de prouver que de nombreux corps sont euclidiens ou non pour la norme. Ensuite, nous appliquons cet algorithme à l'étude des classes euclidiennes pour la norme, ce qui permet d'obtenir de nouveaux exemples de corps de nombres avec une classe euclidienne non principale. Par ailleurs, nous déterminons tous les corps cubiques purs avec une classe euclidienne pour la norme. Enfin, nous nous intéressons aux corps de quaternions euclidiens. Après avoir énoncé les propriétés de base, nous étudions quelques cas particuliers. Nous donnons notamment la liste complète des corps de quaternions euclidiens et totalement définis sur un corps de nombres de degré au plus deux.

We study norm-Euclideanity of number fields and some of its generalizations. In particular, we provide an algorithm to compute the Euclidean minimum of a number field of any signature. This allows us to study the norm-Euclideanity of many number fields. Then, we extend this algorithm to deal with norm-Euclidean classes and we obtain new examples of number fields with a non-principal norm-Euclidean class. Besides, we describe the complete list of pure cubic number fields admitting a norm-Euclidean class. Finally, we study the Euclidean property in quaternion fields. First, we establish its basic properties, then we study some examples. We provide the complete list of Euclidean quaternion fields, which are totally definite over a number field with degree at most two.