On the stability by convolution product of some resurgent algebras

• Auteur / Autrice : Yafei Ou
• Direction : Eric Delabaere
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Angers
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convolutions (mathématiques)

Transformation de Laplace

Fonctions holomorphes

Mots clés libres

Algèbres de convolution

Phénomène de Stokes

Résumé

La théorie de la Résurgence fait intervenir différents espaces fonctionnels : des espaces multiplicatifs de séries ou dedéveloppements formels qu'il s'agit de sommer; des espaces convolutifs de fonctions analytiques dont les objets se déduisent des premiers par transformations de Borel formelle; des espaces multiplicatifs de fonctions analytiques déduit des objets précédents par transformations de Laplace et qui forment les sommes de Borel-Laplace dont l'asymptotique redonnent les objets formels de départ. Cette thèse se concentre sur la construction d'algèbres de convolution. Son objectif est de fournir une démonstration originale et complète, aisément compréhensible pour tout chercheur débutant dans le domaine, de la stabilité par produit de convolution de l'espace des fonctions prolongeables sans fin. La deuxième partie de la thèse, consacrée à l'algèbre de convolution des fonctions prolongeables sans fin à singularités simples, explique comment l'utilisation des dérivations étrangères permet de préciser la structure singulière de ces objets. Nous concluons notre travail par un ensemble de problèmes qui selon nous restent ouverts, de grande importance en pratique et pour lesquels nos méthodes doivent selon toute vraisemblance pouvoir s'appliquer.

Various functional spaces take place in Resurgence theory multiplicative spaces of formal series expansions that one would like to sum; convolutive spaces of analytic functions, the elements of which coming from the former ones by formal Borel transformations, multiplicative spaces of analytic functions deduced from the previous ones by Laplace transformations, thus giving the Borel-Laplace transforms whose asymptotics give back the formal objects one started with. This thesis is devoted to the construction of convolution algebras. Our aim is to provide an original and self-contained proof of the stability under convolution products of the space of endlessly continuable functions, in a way understandable by any young searcher in the field. The second part of the thesis concentrates on the convolution space of endlessly continuable functions with simple singularities. We show how the use of the alien derivations bring deep knowlege on the singular structure We end our work with some problems, still open according to us but of great importance in practice and for which we think that our methods could be applied as well.