Propriétés au bord des fonctions harmoniques pour les diffusions, les processus stables et leurs perturbations

Boundary properties of harmonic functions of diffusions, stable processes and their perturbations

• Auteur / Autrice : Tomasz Luks
• Direction : Piotr Graczyk
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Angers
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laplacien

Fonctions harmoniques

Hardy, Espaces de

Potentiel, Théorie du

Mots clés libres

Laplacien fractionnaire

Théorème de Fatou

Résumé

La thèse se compose de quatre articles. Dans l'article I, '' Hardy spaces for the Laplacian with lower order perturbations '', on considère les espaces de Hardy des fonctions harmoniques pour le Laplacien avec une perturbation de type gardient ou de Schrödinger, sous des conditions de Kato. On y montre le théorème de représentation pour les espaces de Hardy sur les domaines bornés au bord lisse dans l'espace euclidien. L'article II, '' On hardy spaces '', traite des caractérisations des espaces de Hardy et des espaces de Hardy conditionnels du Laplacien et du Laplacien fractionnaire à l'aide des identités de Hardy-Stein. Dans l'article III, '' Boundary behavior of alpha-harmonic functions on the complement of the sphere and hyperplane '', on étudie les fonctions harmoniques pour le Laplacien fractionnaire sur l'espace euclidien privé d'une sphère ou d'un hyperplan. On obtient les théorèmes de représentation pour les espaces de Hardy ainsi que les théorèmes de Fatou. On établit également la formule explicite pour le noyau de Martin sur l'espace euclidien privé d'une sphère et pour la fonction de Green, le noyau de Martin et la mesure harmonique sur l'espace euclidien privé d'un hyperplan. L'article IV, '' Martin représentation, Relative Fatou Theorem and Hardy spaces for fractional Laplacian with a gardient perturbation '', concerne la théorie du potentiel pour le Laplacien fractionnaire avec une perturbation de type gardient. On y montre l'existence de noyau de Martin pour les domaines bornés au bord lisse ainsi que la représentation de Martin pour les fonctions harmoniques. Le théorème de Fatou relatif et le théorème de représentation pour les espaces de Hardy y sont également établis.

The thesis is composed of four articles. In the first one, 'Hardy spaces for the Laplacian with lower order perturbations '', we consider the Hardy spaces of harmonic functions for the Laplacian with gardient or Schrödinger perturbations, under appropriate Kato conductions. We show the representation theorem for the Hardy spaces on bounded smooth domains in euclidiean spaces for the Laplacian and the fractional Laplacian by means of the Hardy-Stein type identities. In the third article, '' Boundary behavior of alpha-harmonic functions on the complement of the sphere and hyperplan '', we study the properties of harmonic functions of the representation theorems for appropriate Hardy spaces and the Fatou theorems. We also obtain explicit formulas for the Martin kernel of the complement of a sphere, and for the Green function, Martin kernel and harmonic measure for the complement of a hyperplane. The fourth article, '' Martin representation, Relative Fatou Theorem and Hardy spaces for fractional Laplacian with a gradient perturbation '', concerns the potential theory for the fractional Laplacian perturbated by gradient on bounded smooth domains. Here we show the existence of the Martin kernel and the Martin representation for appropriate harmonic functions. The relativ Fatou theorem and the representation theorem for Hardy spaces are also proved.