Analyse de modèles en mécanique des fluides compressibles

• Auteur / Autrice : Amal Fettah
• Direction : Thierry Gallouët
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/12/2012
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Robert Eymard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thierry Gallouët, Robert Eymard, Roland Becker, Didier Bresch, Franck Boyer
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Roland Becker, Didier Bresch

Mots clés

Mots clés contrôlés

Volumes finis, Méthodes de

Éléments finis, Méthode des

Navier-Stokes, Équations de

Modèles mathématiques

Dynamique des fluides

Mots clés libres

Éléments finis non conformes

Stokes

Équation de transport

Volumes finis

Équations de Stokes compressible

Discrétisation

Convergence

Non conforming finite elements

Stokes

Finite volumes

Compressible stokes equations

Discretization

Convergence

Résumé

Dans cette thèse on s'est intéressé à l'étude de problèmes concernant la théorie des écoulements compressibles. Dans une première partie on a traité le problème de transport instationnaire avec un champ de vitesse peu régulier, on a établi un résultat d'existence en passant à la limite sur des schémas numériques volumes finis avec un choix décentré amont qui garantie la positivité de la masse volumique. Pour le problème de Stokes, le résultat est démontré par deux approches : une approche par schéma numérique et une approche par régularité visqueuse.Dans la première méthode on propose une discrétisation qui combine la méthode des éléments finis et la méthode des volumes finis qui repose sur les espaces Crouzeix-Raviart. Une première difficulté de ce travail est de démontrer les estimations sur la solution discrète, en particulier à cause de la présence de la gravité dans le terme source de l'équation de quantité de mouvement. Le fait de considérer une loi d'état très générale conduit des difficultés supplémentaires en particulier dans le passage à la limite sur cette équation.Dans la deuxième méthode, le résultat d'existence est démontré en utilisant une approximation par viscosité. Ceci consiste essentiellement en deux parties : l'étude du problème de convection diffusion (qui apparait dans le problème régularisé) où on démontre l'existence et l'unicité de solution et en deuxième partie le passage à la limite sur le problème régularisé.

This thesis is concerned with the study of problems relating in the theory of compressible flows . We prove the existence of the considered problems in a first part by passing to the limit on the numerical schemes proposed for the discretisation of these problems. In the second part, the existence result is obtained by passing to the limit on the approximate solutions given by a corresponding regularized problem.The main result is to prove the existence of a solution of the stationnary compressible Stokes problem with a general equation of state.We first prove this result by passing to the limit on the numerical scheme as the mesh size tends to zero. The fact to consider a general E.O.S induces some additional difficulties in particular to get estimates on the discrete solution (which comes also from the presence of the gravity in the momentum equation) and in the passage to the limit on the E.O.S.We also prove the existence result by passing to the limit on a regularized problem. We first treat the convection-diffusion problem (which appears in the regularized problem), we give an existence and uniqueness result, and we then prove estimates on the approwimate solutions and pass to the limit on the regularized problem.