Tours de corps de fonctions algébriques et rang de tenseur de la multiplication dans les corps finis

• Auteur / Autrice : Julia Pieltant
• Direction : Stéphane Ballet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/12/2012
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Daniel Augot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Ballet, Daniel Augot, Raynald Lercier, Ferruh Ozbudak, François Rodier, Robert Rolland, Serge Vladut, Gilles Lachaud
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Raynald Lercier, Ferruh Ozbudak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions algébriques

Multiplication (arithmétique)

Corps finis

Mots clés libres

Rang de tenseur de la multiplication

Complexité bilinéaire

Tours de corps de fonctions algébriques

Algorythme de type Chudnovsky

Tensor rank of multiplication

Bilinear complexity

Finite fields

Towers of algebraic function fields

Chudnovsky type algorithm

Résumé

On s'intéresse dans cette thèse à la détermination du rang de tenseur de la multiplication dans F_{q^n}, l'extension de degré n du corps fini F_q ; ce rang de tenseur correspond en particulier à la complexité bilinéaire de la multiplication dans F_{q^n} sur F_q. Dans cette optique, on présente les différentes évolutions de l'algorithme de type évaluation-interpolation introduit en 1987 par D.V. et G.V. Chudnovsky et qui a permis d'établir que le rang de tenseur de la multiplication dans F_{q^n} était linéaire en ~n. Cet algorithme en fournit désormais les meilleures bornes connues dans le cas d'extensions de degré grand relativement au cardinal du corps de base — le cas des petites extensions étant bien connu. Afin d'obtenir des bornes uniformes en le degré de l'extension, il est nécessaire, pour chaque n, de déterminer un corps de fonctions algébriques qui convienne pour appliquer l'algorithme pour F_{q^n}, c'est-à-dire qui ait suffisamment de places de petit degré relativement à son genre g et pour lequel on puisse établir l'existence de diviseurs ayant certaines propriétés, notamment des diviseurs non-spéciaux de degré n-1 ou de dimension nulle et de degré aussi près de g-1 que possible ; c'est pourquoi les tours de corps de fonctions sont d'un intérêt considérable. En particulier, on s'intéresse ici à l'étude des tours de Garcia-Stichtenoth d'extensions d'Artin-Schreier et de Kummer qui atteignent la borne de Drinfeld-Vlăduţ.

In this thesis, we focus on the determination of the tensor rank of multiplication in F_{q^n}, the degree n extension of the finite field F_q, which corresponds to the bilinear complexity of multiplication in F_{q^n} over F_q. To this end, we describe the various successive improvements to the evaluation-interpolation algorithm introduced in 1987 by D.V. and G.V. Chudnovsky which shows the linearity of the tensor rank of multiplication in F_{q^n} with respect to n. This algorithm gives the best known bounds for large degree extensions relative to the cardinality of the base field (the case when the degree of the extension is small is well known). In order to obtain uniform bounds, we need to determine, for each n, a suitable algebraic function field for the algorithm on F_{q^n}, namely a function field with sufficiently many places of small degree relative to its genus g and for which we can prove the existence of divisors with some good properties such as non-special divisors of degree g-1 or zero-dimensional divisors with degree as close to g-1 as possiblestring; these conditions lead us to consider towers of algebraic function fields. In particular, we are interested in the study of Garcia-Stichtenoth towers of Artin-Schreier and Kummer extensions which attain the Drinfeld-Vlăduţ bound.