Algèbres de Hecke cyclotomiques : représentations, fusion et limite classique.

• Auteur / Autrice : Loic Poulain d andecy
• Direction : Oleg Ogievetsky
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique théorique et mathématique
• Date : Soutenance le 03/07/2012
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Physique et Sciences de la Matière (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Christian Duval
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Oleg Ogievetsky, Christian Duval, Vladimir Roubtsov, Paul Zinn-Justin
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Vladimir Roubtsov, Paul Zinn-Justin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de réflexions (mathématiques)

Théorie des tresses

Hecke, Algèbres de

Mots clés libres

Groupes de tresses

Algèbres de Hecke

Groupes de réflexions

Théorie des représentations

Éléments de Jucys--Murphy

Diagrammes et tableaux de Young

Diagrammes de Bratteli

Procédures de fusion

Algorithme de Coxeter-Todd

Sous-groupes alternés

Braid groups

Hecke algebras

Reflection groups

Representation theory

Jucys--Murphy elements

Young diagrams and Young tableaux

Bratteli diagrams

Fusion procedures

Coxeter-Todd algorithm

Alternating subgroups

Résumé

Une approche inductive est développée pour la théorie des représentations de la chaîne des algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Cette approche repose sur l'étude du spectre d'une famille commutative maximale, formée par les analogues des éléments de Jucys--Murphy.Les représentations irréductibles, paramétrées par les multi-partitions, sont construites avec l'aide d'une nouvelle algèbre associative, dont l'espace vectoriel sous-jacent est le produit tensoriel de l'algèbre de Hecke cyclotomique avec l'algèbre associative libre engendrée par les multi-tableaux standards.L'analogue de cette approche est présentée pour la limite classique, c'est-à-dire la chaîne des groupes de réflexions complexes de type G(m,1,n).Dans une seconde partie, une base des algèbres de Hecke cyclotomiques est donnée et la platitude de la déformation est montrée sans utiliser la théorie des représentations. Ces résultats sont généralisés aux algèbres de Hecke affines de type A.Ensuite, une procédure de fusion est présentée pour les groupes de réflexions complexes et les algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Dans les deux cas, un ensemble complet d'idempotents primitifs orthogonaux est obtenu par évaluation consécutive d'une fonction rationnelle.Dans une troisième partie, une nouvelle présentation est obtenue pour les sous-groupes alternés de tous les groupes de Coxeter. Les générateurs sont reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter. Cette présentation est ensuite étendue, pour tous les types, aux extensions spinorielles des groupes alternés, aux algèbres de Hecke alternées et aux sous-groupes alternés des groupes de tresses.

An inductive approach to the representation theory of the chain of the cyclotomic Hecke algebras of type G(m,1,n) is developed. This approach relies on the study of the spectrum of a maximal commutative family formed by the analogues of the Jucys--Murphy elements.The irreducible representations, labelled by the multi-partitions, are constructed with the help of a new associative algebra, whose underlying vector space is the tensor product of the cyclotomic Hecke algebra with the free associative algebra generated by the standard multi-tableaux.The analogue of this approach is presented for the classical limit, that is for the chain of complex reflection groups of type G(m,1,n).In a second part, a basis of the cyclotomic Hecke algebras is given and the flatness of the deformation is proved without using the representation theory. These results are extended to the affine Hecke algebras of type A.Then a fusion procedure is presented for the complex reflection groups and the cyclotomic Hecke algebras of type G(m,1,n). In both cases, a complete set of primitive orthogonal idempotents is obtained by successive evaluations of a rational fonction.In a third part, a new presentation is obtained for the alternating subgroups of all Coxeter groups. The generators are related to oriented edges of the Coxeter graph. This presentation is then extended, for all types, to the spinor extensions of the alternating groups, the alternating Hecke algebras and the alternating subgroups of braid groups.