Dynamique commune des fractals de rauzy de même matrice d' incidence

• Auteur / Autrice : Tarek Sellami
• Direction : Pierre Arnoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/06/2012
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Université de Sfax. Faculté des sciences
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Valérie Berthe
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Arnoux, Valérie Berthe, Fabien Durand, Ali Messaoudi, Mohamed Mkaouar, Mabrouk Ben Ammar, Xavier Bressaud, Pascale Hubert
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Fabien Durand, Ali Messaoudi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Corps algébriques

Matrices

Mots clés libres

Fractal de Rauzy

Substitutions

Systèmes dynamiques symboliques

Rauzy fractals

Substitutions

Symbolic dynamical system

Résumé

On sait que la matrice d'incidence associée à une substitution ne suffit pas pour déterminer complètement le système dynamique associé, même dans des cas très simples, il existe plusieurs substitutions associées à une même matrice car il existe de nombreux mots ayant le même abélianisé. Dans cette thèse, on étudie les points communs de deux lignes brisées associées à deux substitutions σ_1 et σ_2 irréductibles unimodulaires de type Pisot qui ont la même matrice d'incidence. On identifie les points communs de ces deux lignes brisées à partir d'un algorithme. On montre ainsi que l'intersection de ces deux lignes brisées est aussi une ligne brisée associée au point fixe d'une nouvelle substitution. On montre plus précisément que si σ_1 vérifie la conjecture Pisot et 0 est un point intérieur à son fractal de Rauzy alors ces points communs peuvent être engendrés par une substitution définie sur un alphabet appelé alphabet des paires équilibrées. Cette substitution est obtenue à partir d'un algorithme, l'algorithme des paires équilibrées. On obtient ainsi l'intersection des intérieurs des deux fractals de Rauzy. En prenant la clôture de cet ensemble on obtient un ensemble substitutif. La condition que 0 est un point intérieur au fractal de Rauzy associé à la substitution σ_1 nous permet de montrer que l'intersection des deux fractals de Rauzy est de mesure positive. Dans une deuxième partie du travail on s'intéresse à l'étude de la frontière du fractal de Rauzy. Le fractal de Rauzy est dit fractal mais c'est en fait sa frontière qui est fractale.

The matrix of a substitution is not sufficient to completely determine the dynamics associated with it, even in the simplest cases since there are many words with the same abelianization. In this paper we study the common points of the canonical broken lines associated with two different irreducible Pisot unimodular substitutions σ_1 and σ_2 having the same incidence matrix. We prove that if σ_1 veriffies the Pisot conjecture and 0 is an inner point to the Rauzy fractal associated with the substitution σ_1 then these common points can be generated with a substitution on an alphabet of so-called balanced pairs, and we obtain in this way the intersection of the interior of two Rauzy fractals.