Gaussian fields and processes indexed by graphs, estimation and prediction

• Auteur / Autrice : Thibault Espinasse
• Direction : Fabrice Gamboa, Jean-Michel Loubès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Séries chronologiques

Théorie des graphes

Processus gaussiens

Mots clés libres

Séries chronologiques

Graphes

Processus Gaussiens

Prédiction

Représentation spectrale

Lemme de Szegö

Approximation de Whittle

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude de processus gaussiens indexés par des graphes. Le but est de fournir des outils pour la modélisation, l'estimation, et la prédiction de tels champs ou processus, utilisant fortement la structure du graphe. Dans un premier travail, nous nous intéressons au problème de prédiction aveugle de séries chronologiques et montrons que le biais de l'erreur de prédiction décroît à une vitesse qui dépend de la régularité de la densité spectrale, sous une hypothèse de courte mémoire. Nous utilisons ensuite la structure spectrale du graphe pour proposer des modèles de covariance pour des champs gaussiens indexés par ce graphe. Cela fournit immédiatement une représentation spectrale, qui permet d'étendre l'approximation de Whittle et l'estimation par quasi-maximum de vraissemblance à ce cadre. Enfin, cette constructionet le lemmede Szegöpeuventêtre étendus au cas spatiotemporel. Cela permet de mettre en pratique la théorie sur des données réelles.

In this work, westudy Gaussian processes indexed by graphs. Weaim at providing tools for modelisation, estimation, and prediction, that uses the structure of the underlying graphs. In the first Chapter,we deal with the blind prediction problem, and compute, in the case of short range dependancy, the rate of convergence of the bias in the prediction error. This rate depends on the regularity of the spectral density of the process. Then, we use the eigenstructure of the adjacency operatorofa graphto propose some models for covariance operators of Gaussian fields indexedby this graph. It leads to aspectral representation for this operator, that can be used to extend Whittle approximation, and quasi-maximum likelihoo destimation. Finally, this construction may be extended to the spatio-temporal case, where the Szegö lemma still holds.