Dynamique et entropies des géométries de Hilbert

Dynamics and entropies of Hilbert metrics

• Auteur / Autrice : Mickaël Crampon
• Direction : Patrick Foulon, Gerhard Knieper
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Strasbourg

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie

Flots géodésiques

Espaces de Hilbert

Mots clés libres

Géométries de Hilbert

Résumé

On étudie le flot géodésique d’une géométrie de Hilbert définie par un ouvert strictement convexe à bord de classe C1. On s’intéresse à la fois à son comportement local autour d’une orbite, et à ses propriétés globales sur une variété quotient. On explique en quoi ce flot a des propriétés locales de type hyperbolique, en étudiant notamment ses exposants de Lyapunov, qu’on relie précisément à la forme du bord du convexe. On prouve un résultat de rigidité entropique pour les quotients compacts. Dans le reste de la thèse, on développe des outils généraux permettant d’aborder le cas des quotients non compacts, en s’inspirant de ce qu’on sait faire en courbure négative. Le cas des surfaces géométriquement finies est traitée plus spécifiquement, et le théorème de rigidité est étendu au cas des surfaces de volume fini.

We study the geodesic flow of a Hilbert geometry defined by a strictly convex open set with C1 boundary. We get interested in its local behaviour around one specific orbit as well as its global properties on a quotient manifold. We explain why this flow has hyperbolic-like properties, by studying in particular its Lyapunov exponents, which are linked in a precise way to the shape of the boundary of the convex set. We prove an entropy rigidity result for compact quotients. We also develop general tools that can be used when considering noncompact ones, following ideas and results of negative curvature. The case of geometrically finite surfaces is studied in details, and the entropy rigidity theorem is extended to finite volume surfaces.