Mathematical study for some turbulence models

• Auteur / Autrice : Hani Ali
• Direction : Roger Lewandowski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique des fluides

Reynolds, Nombre de

Singularités (mathématiques)

Turbulence

Navier-Stokes, Équations de

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude mathématique de quelques modèles de turbulence qui dérivent des équations de Navier-Stokes. Nous étudions principalement les solutions adéquates pour  les  équations de type Leray-α  dans un domaine périodique, le modèle de Leray-α dans un domaine borné  ainsi que le modèle de type TKE (Turbulent Kinetic Energy) avec une viscosité non borné et des conditions aux bords de type Navier non linaires.  L'étude des solutions adéquates pour le modèle Leray-α nous permet de construire des solutions adéquates pour les équations de Navier-Stokes. Dans une premire partie, nous présentons les valeurs optimales des régularisations pour les équations de type Leray-α. Nous étudions aussi l'existence et l'unicité des solutions pour ces modèles dans le cas périodique ainsi que la mesure de Hausdroff pour l'ensemble des points singuliers lorsque les régularisations sont inférieures aux régularisations optimales. Dans la deuxième partie, nous présentons quelques résultats pour le modèle de Leray-α introduit précédemment dans un domaine borné. En outre, nous étudions l'existence et l'unicité de la solution adéquate pour ces équations avec des conditions aux limites de types Navier. La dernière partie est consacré  l'étude du modèle TKE de turbulence.  Dans cette étude, la viscosité est non borné et les conditions aux bords sont de type Navier non linaires.   Pour ce modèle, nous démontrons l'existence des solutions adéquates.  

In order to construct suitable weak solutions to the Navier-Stokes equations, we use an α regularization for these equations. The α models were introduced as sub-grid scale models based on the Navier-Stokes-α (LANS-α) model. In this work, we study some of these α regularizations like the Leray-α, the modified Leray-α and the simplified Bardina models. The first part of this work concerns a general Leray-α family with critical regularization under periodic boundary conditions. In this section, we give the optimal value of regularizations needed to ensure global existence and uniqueness for the solution. In addition, we consider the subcritical cases where we focus our study on the Hausdorff dimension of the time singular set. The results interpolate between the result of regularity for critical regularization and the bound for the time singular set dimension of the Navier-Stokes equations proved by Scheffer. In the second part, we consider the Leray-α model of turbulence with more physical boundary conditions the Navier Slip boundary condition. The third part of my work deals with the mathematical analysis of the Turbulent Kinetic Energy (TKE) model of turbulence with unbounded viscosity and nonlinear Navier boundary conditions. The renormalized method of Diperna Lions is used to show the existence of suitable weak solutions to this model.