Parallelism and robustness in hybrid solvers for large linear systems : application to design optmisation in fluid dynamics

• Auteur / Autrice : Désiré Nuentsa Wakam
• Direction : Jocelyne Erhel, Édouard Canot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problèmes aux valeurs propres

Itération (mathématiques)

Matrices

Algèbre linéaire

Calcul intensif (informatique)

Résumé

Cette thèse présente un ensemble de routines pour la résolution des grands systèmes linéaires creuses sur des architectures parallèles. Les approches proposées s'inscrivent dans un schéma hybride combinant les méthodes directes et itératives à travers l'utilisation des techniques de décomposition de domaine. Dans un tel schéma, le problème initial est divisé en sous-problèmes et les méthodes de Schwarz sont ensuite utilisées comme outils de préconditionnements des méthodes de Krylov basées sur GMRES. Nous nous intéressons tout d'abord au schéma utilisant un préconditionneur de Schwarz multiplicatif. Nous définissons deux niveaux de parallélisme: le premier est associé à GMRES préconditionné sur le système global et le second est utilisé pour résoudre les sous-systèmes à l'aide d'une méthode directe parallèle. Nous montrons que ce découpage est robuste et permet d'utiliser plus efficacement les processeurs d'un noeud de calcul. Nous nous intéressons ensuite à la convergence et au parallélisme de GMRES utilisée comme accélerateur global dans l'approche hybride. L'observation générale est que le nombre global d'itérations, augmente avec le nombre de partitions. Pour réduire cet effet, nous proposons plusieurs versions de GMRES basés sur la déflation. Les techniques proposées utilisent un préconditionnement adaptatif ou une base augmentée. Nous montrons l'utilité de ces approches dans leur capacité à limiter l'influence du choix d'une taille de base de Krylov adaptée, et à éviter une stagnation de la méthode hybride globale. De plus, elles permettent de réduire le coût mémoire, le temps de calcul et le nombre de messages échangés par les différents processeurs.

This thesis presents a set of routines that aim at solving large linear systems on parallel computers. The proposed approaches are part of a hybrid scheme where the direct and iterative methods are combined through domain decomposition techniques. The initial problem is first divided into subproblems. The Schwarz-based methods are then used as preconditioners for GMRES-based Krylov methods. We first consider a hybrid scheme using a multiplicative Schwarz preconditioner. We define two levels of data parallelism : the first level has been used to parallelize the GMRES method at the global level; we introduce the second level to solve the subsystems induced by the Schwarz preconditioner through a parallel direct method. We show that this splitting produce a good robustness and enables a better usage of CPU resources. Then we study the convergence and the parallelism in the GMRES method which is used as the global accelerator in the hybrid method. The general observation is that the number of iterations in that method increases very fast with the number of partitions in the hybrid solver. To limit this effect, we propose several implementations of the GMRES method with the deflation methods. These approaches formulate a deflation process either as an adaptive preconditioner or an augmented subspace basis technique. We show the usefulness of these approaches in their ability to limit the influence of the right choice of the Krylov basis size, and thus to avoid the stagnation of the global hybrid solver. Moreover, these approaches are very efficient to reduce the memory usage, the CPU time and the MPI messages exchanged between the working processors.