Sur un problème inverse de type Cauchy en théorie des plaques minces élastiques

On an inverse problem of Cauchy type in theory of thin elastic plates

• Auteur / Autrice : Azariel Paul Eyimi Minto'o Ebang
• Direction : Alain Miranville, Alain Cimetiere
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Poitiers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Fonctions harmoniques

Problèmes aux limites

Problèmes inverses

Équations aux dérivées partielles -- Problèmes mal posés

Résumé

Dans cette thèse, nous résolvons un problème inverse de type Cauchy associé à l'opérateur biharmonique. Pour des données compatibles, comme ce problème est mal posé au sens d'Hadamard, nous utilisons la méthode de régularisation évanescente. Elle est itérative. Son originalité est de faire intervenir, à chaque itération, un problème d'optimisation bien posé qui dépend d'un terme de régularisation dont les effets se dissipent à la limite du processus itératif. Cette limite est la solution du problème de Cauchy. Pour adapter des algorithmes élaborés pour les problèmes de Cauchy associés au laplacien, nous factorisons le problème initial en deux problèmes inverses de Cauchy pour l'opérateur harmonique. Les résultats principaux sont la convergence de la solution discrète vers la solution continue et l'efficacité de la méthode à gérer numériquement, via les éléments finis, le problème factorisé sur différents domaines, même lorsque les données sont bruitées.

This thesis is devoted to solve an Cauchy inverse problem for the biharmonic operator. For compatible data, since this problem is ill-posed in Hadamard’s sense, we use the method of vanishing regularization. Which consists in replacing the ill-posed problem by a sequence of well-posed optimization problems. The optimizated problems depend on a regularization term whose effects fade when the sequence of generated optimal solutions converges to the solution of the Cauchy problem. In order to use developed algorithms for the Cauchy problems for the Laplacian, the original problem is factorized in two Cauchy inverse problems for the harmonic operator. The main results are the convergence of the discrete solution to the continuous solution and the efficiency of the method to manage numerically, by finite element discretization, the factorized problem in various domains, even when data are noisy.