Méthode adaptative d'intégration multi-dimensionnelle et sélection d'une base de Polynômes de Chaos

Adaptive method for multi-dimensional integration and selection of a base of polynomials Chaos

• Auteur / Autrice : Thierry Crestaux
• Direction : Olivier Lafitte
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formules de cubature

Intégration numérique

Résumé

La propagation d' incertitudes en simulation numérique peut être traitée dans le cadre probabiliste par une approche fonctionnelle utilisant des fonctions de variables aléatoires. Dans cette thèse nous avons étudié la méthode spectrale de représentation des variables aléatoires par développement en chaos polynômial. En effet, une des grandes propriétés du chaos polynômial est que la connaissance des coefficients permet la réalisation de différentes analyses d'incertitude et de sensibilité. On peut ainsi à partir des coefficients du développement, approcher facilement différentes grandeurs d'intérêt comme les moyennes et les variances des variables analysées et par décomposition fonctionnelle de la variance obtenir les indices de sensibilité de Sobol caractérisant la part de la variance due par une variable ou par un groupe de variables d'entrées. Les méthodes de calcul de ce développement polynômial se séparent en deux catégories: celles qui modifient le code de calcul; méthodes dites intrusives, et celles qui utilisent le code comme une ''boîte noire'' en calculant les coefficients à laide de réalisations du code, méthodes dites non-intrusives. Ce travail de thèse s'est intéressé en particulier à une méthode non-intrusive donnée: la méthode de projection non-intrusive. Cette méthode utilise l'orthogonalité des bases de Polynômes de Chaos pour calculer les coefficients du développement par approx­imation de produits scalaires. Ce qui revient ici à approcher numériquement des intégrales. Le problème principal que l'on rencontre alors est le coût numérique important de l'intégration multidimensionnelle en grande dimension, ce qui est généralement le cas en propagation d'incertitudes. Ce coût correspond au nombre de points des formules d'intégration numérique, chaque point nécessitant une réalisation du code de calcul. La projection non-intrusive est généralement associée à la cubature par construc­tion de Smolyak (ou cubature de Smolyak) pour réduire le nombre de points nécessaire à l'intégration. Cependant, lorsque la dimension augmente l'efficacité de cette méthode devient insuffisante et le nombre de points nécessaire trop élevé. Pour diminuer ce coût nous nous sommes tournés vers l'intégration adap­tative et les méthodes de cubature de Smolyak généralisée. La combinaison des deux a récemment permis la mise au point de méthodes de cubature adapta­tive qui permettent de diminuer considérablement le coût d'intégration pour des fonctions anisotropes. Le coeur de cette thèse consiste donc à l'étude de la cubature adaptative à partir de la cubature de Smolyak généralisée et à sa mise en oeuvre pour le calcul du développement en Polynômes de Chaos. Cela nous a amené à proposer notre propre méthode de cubature adaptative ainsi qu'un algorithme pour calculer un développement polynômial adapté au problème. On obtient ainsi un développement polynômial sur une base creuse et un coût numérique d'intégration réduit qui permettent l'étude de problèmes anisotropes de plus grandes dimensions.