Thèse soutenue

FR
Auteur / Autrice : Jian Wang
Direction : Patrice Le Calvez
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2011
Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

FR

Résumé

FR  |  
EN

On sait que la théorie de Brouwer des homéomorphismes du plan peut être appliquée à l’étude des homémorphismes de surface. Un outil fréquemment utilisé est le lemme de Franks sur les chaînes de disques libres. Dans ce travail, on considère quelques problèmes sur les homéomorphismes de surface où les chaînes de disques libres sont utilisées. Ce travail comporte trois parties. Dans la première partie, on donne des preuves simples du théorème de Poincaré-Birkhoff et de ses variantes en utilisant la notion nouvelle de chemin positif. A l’aide d’un contrexemple, on fera comprendre les limites possibles de ces extensions. Dans la deuxième partie, on généralise un théorème dû à Beguin, Crovisier, Le Roux (et Patou), sur les homéomorphismes de l’anneau, qui est connecté à une ancienne conjecture de Birkhoff, au cas où la propriété de la préservation d’une mesure finie à support total est remplacée par la propriété d’intersection, pure condition topologique. Dans la troisième partie, on donne une explication dynamique précise de la fonction d’action qui est un objet classique de la géométrie symplectique, defini sur l’ensemble des points fixes contractibles d’un difféomorphisme hamiltonien, et on la généralise, en dimension deux, au cas d’un homémorphisme isotope à l’identité qui préserve une mesure borélienne finie de vecteur de rotation nul, sous une condition de borne d’enlacement de points fixes. On montre quelques propriétés de cette action généralisée.