Sur les groupes de type fini : primalité, axiomatisabilité quasi finie et bi-interprétabilité avec l'arithmétique

On finitely generated groups : primality, quasi-finite axiomatizability and bi-interpretability with the arithmetic

• Auteur / Autrice : Clément Lasserre
• Direction : Anatole Khélif, Françoise Point
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des groupes

Groupes finis

Résumé

Cette thèse concerne la théorie des modèles des groupes de type fini, sous l'angle des notions de primalité, d'axiomatisabilité quasi finie et de bi-interprétabilité avec l'arithmétique. Dans le chapitre 2, les groupes polycycliques-par-finis QFA sont caractérisés de façon purement algébrique. Nous voyons que ce sont exactement les groupes polycycliques-par-finis premiers. De plus, nous montrons que le nombre de Hirsch est « définissable ». Le chapitre 3 contient des investigations sur les produits directs de groupes QFA. Le problème est ramené à des questions sur les extensions centrales. Dans le chapitre 4, nous montrons que les groupes F et T de Thompson sont bi-interprétables avec l'arithmétique, donc sont QFA et premier. Ceci fournit le premier exemple d'un groupe simple QFA et premier.

The thesis is about the model theory of finitely generated groups, with a view toward the notions of primality, quasi-finite axiomatizability and bi-interpretability with the arithmetic. In Chapter 2, polycyclic-by-finite QFA groups are characterized in a purely algebraic way. We also obtain that they are exactly the polycyclic-by-finite prime groups. Further, we show that the Hirsch number is definable. In Chapter 3, we investigate direct products of QFA groups. The problem is identified as a question on central extensions. In Chapter 4, we show that Thompson's groups F and T are bi-interpretable with the arithmetic, so are QFA and prime. This give the first example of such a simple group.