Trees, non markovian branching processes and Levy processes

• Auteur / Autrice : Mathieu Richard
• Direction : Amaury Lambert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus de naissance et de mort (processus stochastiques)

Processus ramifiés

Émigration et immigration

Modèles mathématiques

Modèle de population stable

Lévy, Processus de

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à 3 développements des arbres de ramification de Geiger&Kersting et aux processus de branchement qui y sont associés. Ces arbres modélisent une population où les individus ont des durées de vie i. I. D. Et donnent naissance à taux constant. Le processus comptant les individus vivants est un processus CMJ binaire et homogène, généralisation du processus de vie et de mort markovien. Premièrement, nous considérons un modèle île-continent dans lequel des individus immigrent à taux T vers une île et y fondent des familles évoluant indépendamment. On fait différentes hypothèses sur les types des individus: soit chaque immigrant est d'un type différent des précédents, soit il est de type i avec une proba donnée. Nous déterminons les proportions asymptotiques des types dans la population. Dans le premier cas, la limite suit une distribution GEM de paramètre T/b qui ne dépend pas de la loi de durée de vie. Puis nous étudions un modèle où des mutations se produisent à la naissance. Chaque mutant est d'un type nouveau et chaque type se reproduit de la même manière. Nous étudions le spectre de fréquence qui décrit le nombre de types portés par un nombre donné d'individus. Nous obtenons des résultats concernant son comportement asymptotique et nous prouvons la convergence en loi des abondances des plus grandes familles et des âges des plus vieilles familles. Enfin, nous nous intéressons à des processus de Lévy spectralement positifs conditionnés à atteindre de grandes hauteurs avant de toucher 0 où «hauteur» fait référence au processus des hauteurs de Duquesne&Le Gall. La loi du processus conditionné est alors définie à l'aide d'une h-transformée.