Caractérisation de la relaxée d'une fonctionnelle de Willmore généralisée

On a characterization of the relaxation of a generalized Willmore functional

• Auteur / Autrice : Giacomo Nardi
• Direction : Simon Masnou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Paris 6 en cotutelle avec Università degli Studi di Firenze

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctionnelles de Willmore

Variétés différentiables

Théorie de la mesure géométrique

Méthodes de relaxation (mathématiques)

Résumé

Dans cette thèse on étudie la relaxée d'une fonctionnelle dépendant de la courbure moyenne des ensembles de niveau de la fonction. La relaxation est définie par rapport à la topologie forte de L^1 dans l'espace BV. En dimension deux, on peut exprimer la relaxée comme l'intégrale sur l'ensemble des niveaux de la fonction étudiée d'une énergie calculée sur un recouvrement des frontières essentielles d'ensembles de niveau par une famille limite de courbes. En dimension supérieure, on propose une nouvelle formulation pour le problème en définissant des varifolds associés aux mesures de Young-gradients, appelés Young varifolds. On se ramène ainsi à un problème de minimisation pour une fonctionnelle définie sur une certaine classe de Young varifolds. Grâce aux résultats précédents on peut montrer que cette formulation est appropriée en dimension deux. Toutefois, une caractérisation complète de la relaxée à l'aide des Young varifolds reste un problème ouvert.