Analyse harmonique et équation de Schrödinger associées au laplacien de Dunkl trigonométrique

Harmonic analysis and Schrödinger equation associated with the trigonometric Dunkl Laplacian

• Auteur / Autrice : Fatma Ayadi Ben Said
• Direction : Jean-Philippe Anker, Mohamed Sifi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/12/2011
• Etablissement(s) : Orléans en cotutelle avec Université de Tunis El Manar
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies (Orléans ; 2009-2012)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques appliquées et physique mathématique d'Orléans (1994-2011)
• Jury : Président / Présidente : Néjib Ben Salem
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Philippe Anker, Mohamed Sifi, Néjib Ben Salem, Philippe Bougerol, Mili Maher, Jacques Faraut
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Bougerol, Mili Maher

Mots clés

Mots clés contrôlés

Schrödinger, Équation de

Analyse harmonique (mathématiques)

Équation de la chaleur

Équations d'onde

Mots clés libres

Laplacien de Dunkl trigonométrique

Estimations de Strichartz

Trigonometric Dunkl Laplacian

Strichartz estiamtes

Résumé

Cette thèse est constituée de trois chapitres. Le premièr chapitre porte sur l’examen desconditions de validité du principe d’équipartition de l’énergie totale de la solution de l’équationdes ondes associée au laplacien de Dunkl trigonométrique. Enfin, nous établissons lecomportement asymptotique de l’équipartition dans le cas général. Les résultats de cettepartie ont fait l’objet de la publication [8]. Le deuxième chapitre, publié avec J.Ph. Ankeret M. Sifi [6], montre que les fonctions d’Opdam dans le cas de rang 1 satisfont à uneformule produit. Cela nous a permis de définir une structure de convolution du genre hypergroupe.En particulier, on montre que cette convolution satisfait l’analogue du phénomènede Kunze-Stein. Le dernier chapitre est consacrée à l’étude des propriétés dispersives et estimationsde Strichartz pour la solution de l’équation de Schrödinger associée au laplaciende Dunkl trigonométrique unidimensionnel [7]. Cette étude commence par des estimationsoptimales du noyau de la chaleur et de Schrödinger. À l’aide de ces résultats, ainsi que lesoutils d’analyse harmonique dévellopée dans le chapitre 2, on montre des éstimées de typeStrichartz qui permettent de trouver des conditions d’admissibilité pour des équations deSchrödinger semi-linéaires.

This thesis consists of three chapters. The first one is concerned with energy properties of the wave equation associated with the trigonometric Dunkl Laplacian. We establish the conservation of the total energy, the strict equipartition of energy under suitable assumptions and the asymptotic equipartition in the general case. These results were published in [8]. The second chapter, in collaboration with J.Ph. Anker and M. Sifi [6], shows that Opdam’s functions in the rank one case satisfy a product formula. We then define and study a convolution structure related to Opdam’s functions. In particular, we prove that this convolution fulfills a Kunze-Stein type phenomena. The last chapter deals with dispersive and Strichartz estimates for the linear Schrödinger equation associated with the one dimensional trigonometric Dunkl Laplacian [7]. We establish sharp estimates for the heat kernel in complex time, and therefore for the Schrödinger kernel. We then use these estimates together with tools from chapter 2 to deduce dispersive and Strichartz inequalities for the linear Schrödinger equation and apply them to well–posedness in the nonlinear case.