Régression bayésienne sous contraintes de régularité et de forme.

Bayesian regression under shape and smoothness restriction.

• Auteur / Autrice : Khader Khadraoui
• Direction : Christophe Abraham
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Biostatistique
• Date : Soutenance le 08/12/2011
• Etablissement(s) : Montpellier 2
• Ecole(s) doctorale(s) : Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; École Doctorale ; 2009-2014)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : MISTEA - Mathématiques, Informatique et STatistique pour l'Environnement et l'Agronomie
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : André Mas, Jean-michel Marin, Pierre-andré Cornillon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Judith Rousseau, Denys Pommeret

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique bayésienne

Courbes

Mots clés libres

Régression bayésienne

B-spline

Polygone de contrôle

Contraintes de forme et de régularité

Recuit simulé

Metropolis-Hastings

Bayesian regression

B-spline

Control polygon

Shape and smoothness constraints

Simulated annealing

Metropolis-Hastings

Résumé

Nous étudions la régression bayésienne sous contraintes de régularité et de forme. Pour cela,on considère une base de B-spline pour obtenir une courbe lisse et nous démontrons que la forme d'une spline engendrée par une base de B-spline est contrôlée par un ensemble de points de contrôle qui ne sont pas situés sur la courbe de la spline. On propose différents types de contraintes de forme (monotonie, unimodalité, convexité, etc). Ces contraintes sont prises en compte grâce à la loi a priori. L'inférence bayésienne a permis de dériver la distribution posteriori sous forme explicite à une constante près. En utilisant un algorithme hybride de type Metropolis-Hastings avec une étape de Gibbs, on propose des simulations suivant la distribution a posteriori tronquée. Nous estimons la fonction de régression par le mode a posteriori. Un algorithme de type recuit simulé a permis de calculer le mode a posteriori. La convergence des algorithmes de simulations et du calcul de l'estimateur est prouvée. En particulier, quand les noeuds des B-splines sont variables, l'analyse bayésienne de la régression sous contrainte devient complexe. On propose des schémas de simulations originaux permettant de générer suivant la loi a posteriori lorsque la densité tronquée des coefficients de régression prend des dimensions variables.

We investigate the Bayesian regression under shape and smoothness constraints. We first elicita Bayesian method for regression under shape restrictions and smoothness conditions. Theregression function is built from B-spline basis that controls its regularity. Then we show thatits shape can be controlled simply from its coefficients in the B-spline basis. This is achievedthrough the control polygon whose definition and some properties are given in this article.The regression function is estimated by the posterior mode. This mode is calculated by asimulated annealing algorithm which allows to take into account the constraints of form inthe proposal distribution. A credible interval is obtained from simulations using Metropolis-Hastings algorithm with the same proposal distribution as the simulated annealing algorithm.The convergence of algorithms for simulations and calculation of the estimator is proved. Inparticular, in the case of Bayesian regression under constraints and with free knots, Bayesiananalysis becomes complex. we propose original simulation schemes which allows to simulatefrom the truncated posterior distribution with free dimension.