Super-algèbres non associatives avec des structures homogènes

Non associative superalgebras with some homogeneous structures

• Auteur / Autrice : Imen Ayadi
• Direction : Saïd Benayadi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/03/2011
• Etablissement(s) : Metz
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LMAM - Laboratoire de Mathémathiques et Applications de Metz - UMR 7122 (....-2012)
• Jury : Président / Présidente : Richard Kerner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Helena Albuquerque, Ignacio Bajo, Michel Goze, Salah Mehdi, Angela Pasquale

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres non associatives

Formes bilinéaires

Poisson, Algèbres de

Lie, Superalgèbres de

Mots clés libres

Algèbres associatives

Résumé

Le but de cette thèse est d'étudier certaines super-algèbres non associatives qui sont munies des structures homogènes.Dans la première partie de cette thèse, nous avons étudié les super-algèbres associatives symétriques homogènes. Nous avons généralisé, au cas des super-algèbres associatives, la double extension des algèbres associatives symétriques introduite par A. Aubert.Nous avons utilisé un cas particulier de cette nouvelle notion de double extension pour étudier les super-algèbres de Novikov symétriques paires. En particulier, nous avons donné une description inductive de ces super-algèbres.Ensuite, nous avons montré que toutes les super-algèbres associatives simples possèdent des structures symétriques homogènes. Plus précisément, nous avons donné explicitement sur chaque super-algèbre associative simple une structure symétrique homogène. Ce résultat nous a permis de donner une description inductive complète des super-algèbres associatives symétriques homogènes.Nous avons terminé cette partie en donnant une description inductive des super-algèbres associatives super-commutatives symétriques homogènes symplectiques homogènes. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous avons complété l'étude des super-algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes commencée par E. Barriero et S. Benayadi. Ensuite, à l'aide des différentes types de double extensions introduites dans la première et la deuxième partie, nous avons introduit la notion de la double extension des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques homogènes. Finalement, en utilisant ces nouvelles notions de double extensions, nous avons obtenu des descriptions inductives des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques homogènes.

The goal of my thesis is to study some non associative superalgebra with homogeneous structures.In the first part, we studied homogeneous symmetric associative superalgebras. We generalized the double extensions of symmetric associative algebras introduced by A. Aubert to the case of associative superalgebras. We used a particular case of this double extension to study even symmetric Novikov superalgebras and we gave its inductive description. Next, we proved that every simple associative superalgebra admits a homogeneous symmetric structure. More precisely, we gave explicitly a homogeneous structure on every simple associative superalgebra. This result, allowed us to give a completely inductive description of associative superalgebras with homogeneous symmetric structures. We ended this part by giving an inductive description of associative super-commutative superalgebras with homogeneous symmetric homogeneous symplectic structures.In the second part of this thesis, we studied the structures of even (resp. odd)-quadratic odd (resp. even)-symplectic Lie superalgebras and odd-quadratic odd-symplectic Lie superalgebras and we gave its inductive descriptions in terms of quadratic generalized double extensions and odd quadratic generalized double extensions. This study complete the inductive descriptions of homogeneous quadratic symplectic Lie superalgebras started by E. Barriero and S. Benayadi. In addition, using different types of double extensions introduced in the first and second parts, we introduced the notion of double extension of homogeneous quadratic homogeneous symplectic Poisson superalgebras and we gave its inductive descriptions