Principe variationnel d'Ekeland et ses applications

Ekeland's variational principle and some related issues

• Auteur / Autrice : Ngoc Quy Dinh
• Direction : Samir Adly, Phan Quoc Khanh
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Limoges en cotutelle avec Hochiminh City
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques - XLIM

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Analyse fonctionnelle non linéaire

Mots clés libres

Principe de variation de Ekeland (EVP)

Résumé

Principe de variation de Ekeland (prochainement EVP) est l'un des résultats les plus importants dans l'analyse non linéaire et d'optimisation pour les quatre dernières décennies. Pendant cette période, il a été mis au point, généralisé et appliquée à de nombreux domaines mathématiques par de nombreux auteurs à travers le monde. L'objectif de cette thèse est d'étudier ce principe et certaines questions connexes. La thèse se compose de cinq chapitres. Dans le chapitre 1, nous proposons une définition des relations transitifs inférieure fermée et prouver l'existence d'éléments minimaux d'une telle relation. Nous introduisons la notion de τ-fonction faible p comme une distance généralisée et l'utiliser avec le résultat ci-dessus sur un minimum d'éléments pour établir une meilleure EVP pour divers paramètres, sous des hypothèses de semi-continuité inférieure détendue. Ces principes conclurent à l'existence non seulement de minimiseurs p-strictes de p-pertubations de la fonction de vecteur considéré, mais aussi p-forte et minimiseurs p-forts. Dans le chapitre 2, en utilisant faible τ-fonctions, nous discutons de l'EVP pour Kuroiwa minimiseurs d'une cartographie mise en valeur et des résultats équivalents. Le chapitre 3 comprends détendus propriétés de moindre semicontinuité pour des mappings set- évaluées en termes de faibles τ-fonctions, et l'amélioration de vice-président directeur de Pareto minimiseurs de mappages d'ensembles nuls et principes minimal-éléments sous-jacents avec semicontinuité inférieure détendue. Très récemment, Benarczuk et Zagrodny (2009) ont prouvé une EVP avec perturbations par un sous-ensemble fermé borné convexe D de Y, au lieu de perturbations dans une direction ko. Dans le chapitre 4, nous développons ce résultat, compte tenu à la fois de Pareto et les minima d'une carte set-évalué de Kuroiwa. Un élément théorème minimal correspondant à une commande de produits est également prouvé comme un fait fondamental pour l'EVP. Nous présentons dans le chapitre 5 de plusieurs nouveaux types de limites inférieures et supérieures et les types correspondants de semi-continuité d'un plan mis-évalués. Avec les concepts connus de semi-continuité, ils peuvent être utilisés pour avoir une vision plus claire des comportements locaux de cartes. Ensuite, nous étudions toutes les grandes propriétés de semi-continuité de cartes de la solution à une inclusion quasivariational général. Conséquences dérivent pendant plusieurs problèmes particuliers, y compris des connexions au principe de variation de Ekeland.

Ekeland's variational principle (shortly, EVP) is one of the most important results in nonlinear analysis and optimization for the last four decades. During this period it has been being developed, generalized and applied to many fields of mathematics by many authors around the world. The purpose of this thesis is to investigate this principle and some related issues. The thesis consists of five chapters. In Chapter 1 we propose a definition of lower closed transitive relations and prove the existence of minimal elements for such a relation. We introduce the notion of a weak t-function p as a generalised distance and use it together with the above result on minimal elements to establish enhanced EVP for various settings, under relaxed lower semicontinuity assumptions. These principles conclude the existence not only of p-script minimizers of p-perturbations of the considered vector function, but also p-sharp and p-strong minimizers. In Chapter 2, using weak t-functions we discuss the EVP for Kuroiwa minimizers of a set-valued mapping and equivalent results. Chapter 3 relaxed lower semicontinuity properties for set-valued mappings in terms of weak t-functions, and enhanced EVP for Pareto minimizers of set-valued mappings and underlying minimal-element principles with relaxed lower semicontinuity. Very recently, Bednardczuk and Zagrodny (2009) proved an EVP with perturbations by a closed bounded convex subset D of Y, instead of perturbations in a direction ko. In Chapter 4, we develop this result, considering both Pareto and Kuroiwa's minima of a set-valued map. A corresponding minimal element theorem for a product order is also proved as a underlying fact for the EVP. We introduce in Chapter 5 several new kinds of inferior and superior limits and corresponding kinds of semicontinuity of a set-valued map. Together with the known concepts of semicontinuity,they can be used to have a clearer insight of local behaviors of maps. Then, we investigate all major semicontinuity properties of solution maps to a general quasivariational inclusion. Consequences are derived for several particular problems, including some connections to Ekeland's variational principle.