Anneaux d'endomorphismes en cryptographie

Endomorphism Rings in Cryptography

• Auteur / Autrice : Gaëtan Bisson
• Direction : Tanja Lange
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 14/07/2011
• Etablissement(s) : Vandoeuvre-les-Nancy, INPL en cotutelle avec Technische Universiteit Eindhoven - Pays-bas
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire lorrain de recherche en informatique et ses applications
• Jury : Président / Présidente : Arjeh M. Cohen
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierrick Gaudry, Tanja Lange, Arjeh M. Cohen, Steven D. Galbraith, David R. Kohel, Jean-Marc Couveignes, Florian Hess, Henk C. A. van Tilborg
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Steven D. Galbraith, David R. Kohel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Anneaux d'endomorphismes

Mots clés libres

Variété abélienne

Anneaux d'endomorphismes

Isogénie

Abelian variety

Endomorphism ring

Isogeny

Résumé

La cryptographie est indispensable aux réseaux de communication modernes afin de garantir la sécurité et l'intégrité des données y transitant. Récemment, des cryptosystèmes efficaces, sûr et riches ont été construits à partir de variétés abéliennes définies sur des corps finis. Cette thèse contribue à plusieurs aspects algorithmiques de ces variétés touchant à leurs anneaux d'endomorphismes. Cette structure joue un rôle capital pour construire des variétés abéliennesmunies de bonnes propriétés, comme des couplages, et nous montrons qu'un plus grand nombre de telles variétés peut être construit qu'on ne pourrait croire. Nous considérons aussi le problème inverse qu'est celui du calcul de l'anneau d'endomorphismes d'une variété abélienne donnée. Les meilleures méthodes connues ne pouvaient précédemment résoudre ce problème qu'en temps exponentiel ; ici, nous concevons plusieurs algorithmes de complexité sous-exponentielle le résolvant dans le cas ordinaire. Pour les courbes elliptiques, nous bornons rigoureusement la complexité de nos algorithmes sous l'hypothèse de Riemann étendue et démontrons qu'ils sont extrêmement efficaces en pratique. Comme sous-routine, nous développons notamment un algorithme sans mémoire pour résoudre une généralisation du problème du sac à dos. Nous généralisons aussi notre méthode aux variétés abélienne de dimension supérieure. Concrètement, nous développons une bibliothèque qui permet d'évaluer des isogénies entre variétés abéliennes ; cet outil nous permet d'appliquer une généralisation de notre méthode à des exemples jusqu'alors incalculables.

Modern communications heavily rely on cryptography to ensure data integrity and privacy. Over the past two decades, very efficient, secure, and featureful cryptographic schemes have been built on top of abelian varieties defined overfinite fields. This thesis contributes to several computational aspects of ordinary abelian varieties related to their endomorphism ring structure. This structure plays a crucial role in the construction of abelian varieties with desirable properties, such as pairings, and we show that more such varieties can be constructed than expected. We also address the inverse problem, that of computing the endomorphism ring of a prescribed abelian variety. Prior state-of-the-art methods could only solve this problem in exponential time, and we design several algorithms of subexponential complexityfor solving it in the ordinary case. For elliptic curves, we rigorously bound the complexity of our algorithms assuming solely the extended Riemann hypothesis, and demonstrate that they are very effective in practice. As a subroutine, we design in particular a memory-less algorithm to solve a generalization of the subset sum problem. We also generalize our method to higher-dimensional abelian varieties. Practically speaking, we develop a library enabling the computation of isogenies between abelian varieties; this building block enables us to apply a generalization of our algorithm to cases that were previously not computable.