Propriétés arithmétiques des applications miroir

Arithmetic properties of mirror maps

• Auteur / Autrice : Eric Delaygue
• Direction : Tanguy Rivoal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/09/2011
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Gilles Christol
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tanguy Rivoal, Frits Beukers, Gaël Rémond, Julien Roques
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian Krattenthaler, Lucia Di Vizio

Mots clés

Mots clés libres

Applications miroir

Fonctions hypergéométriques

Analyse p-adique

Mirror maps

Hypergeometric functions

P-adic analysis

Résumé

Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que les coefficients de Taylor à l'origine de séries en plusieurs variables q_i(z)=z_iexp(G_i(z)/F(z)) soient entiers, avec z=(z_1,⋯,z_d) et où F(z) et G_i(z)+log(z_i)F(z), i=1,⋯,d, sont des solutions particulières de certains A-systèmes d'équations différentielles linéaires. Ce critère est basé sur les propriétés analytiques de l'application de Landau (classiquement associée aux suites de quotients de factorielles de formes linéaires). Pour démontrer ce critère, nous généralisons entre autres une version en plusieurs variables d'un théorème de Dwork concernant les congruences formelles entre séries formelles, démontrée par Krattenthaler et Rivoal dans og Multivariate p-adic formal congruences and integrality of Taylor coefficients of mirror maps fg [arXiv:0804.3049v3, math.NT]. Ce critère en plusieurs variables implique l'intégralité des coefficients de Taylor de nouvelles applications miroir d'une seule variable dans og Tables of Calabi--Yau equations fg [arXiv:math/0507430v2, math.AG] de Almkvist, van Enckevort, van Straten et Zudilin. Dans le cas particulier d'une variable, nous affinons notre critère et démontrons l'intégralité des coefficients de Taylor de racines d'applications miroir. Cela nous permet de démontrer une conjecture de Zhou énoncée dans og Integrality properties of variations of Mahler measures fg [arXiv:1006.2428v1 math.AG].

We give a necessary and sufficient condition for the integrality of the Taylor coefficients at the origin of formal power series q_i(z)=z_iexp(G_i(z)/F(z)), with z=(z_1,⋯,z_d) and where F(z) and G_i(z)+log(z_i)F(z), i=1,⋯,d, are particular solutions of some A-systems of differential equations. This criterion is based on the analytical properties of Landau's function (which is classically associated to the sequences of factorial ratios). One of the techniques used to prove this criterion is a generalization of a version of a theorem of Dwork on the formal congruences between formal series, proved by Krattenthaler and Rivoal in og Multivariate p-adic formal congruences and integrality of Taylor coefficients of mirror maps fg [arXiv:0804.3049v3, math.NT]. This criterion involves the integrality of the Taylor coefficients of new univariate mirror maps listed in og Tables of Calabi--Yau equations fg [arXiv:math/0507430v2, math.AG] by Almkvist, van Enckevort, van Straten and Zudilin. In the particular case of one variable, we refine our criterion and demonstrate the integrality of the Taylor coefficients of roots of mirror maps. This allows us to prove a conjecture stated by Zhou in og Integrality properties of variations of Mahler measures fg [arXiv:1006.2428v1 math.AG]. STAR Date de soutenance : 6 septembre 2011 Thèse sur travaux: non