Calibration non paramétrique de modèles en finance

Non-parametric model calibration in finance

• Auteur / Autrice : Rémi Tachet des combes
• Direction : Frédéric Abergel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées aux systèmes
• Date : Soutenance le 06/10/2011
• Etablissement(s) : Châtenay-Malabry, Ecole centrale de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Châtenay-Malabry, Hauts de Seine)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques et informatique pour la complexité et les systèmes (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Nizar Touzi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Abergel, Jean-Michel Rakotoson, Benjamin Jourdain, Pierre Henry-Labordère
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Michel Rakotoson, Benjamin Jourdain

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Mathématiques

Mots clés libres

Calibration

Vanilles

Taux stochastiques

Calibration

Vanillas

Stochastic rates

Résumé

La calibration des vanilles est un problème majeur de la finance. On tente ici de le résoudre pour trois classes de modèles : les modèles à volatilité locale et stochastique, le modèle dit à « corrélation locale » et un modèle hybride de volatilité locale avec taux stochastiques. D’un point de vue mathématique, l’équation de calibration est une équation non linéaire et intégro-différentielle particulièrement complexe. Dans une première partie, on prouve des résultats d’existence de solutions pour cette équation, ainsi que pour son adjoint (plus simple à résoudre). Ces résultats se fondent sur des méthodes de points fixes dans des espaces de Hölder et requièrent des théorèmes classiques relatifs aux équations aux dérivées partielles paraboliques, ainsi que quelques estimations à priori au temps court. La deuxième partie traite de l’application de ces résultats d’existence aux trois modèles financiers précédemment cités. On y expose également les résultats numériques obtenus en résolvant l’edp. La calibration par cette méthode est tout à fait satisfaisante. Enfin, dans un dernier temps, on s’intéresse à l’algorithme utilisé pour la résolution numérique : un schéma ADI prédicteur-correcteur, qu’on modifie pour prendre en compte le caractère non linéaire de l’équation. On décrit également un phénomène d’instabilité de la solution de l’edp qu’on tente d’expliquer d’un point de vue théorique grâce à l’instabilité dite de « Hadamard ».

Consistently fitting vanilla option surfaces is an important issue when it comes to modelling in finance. In three different models: local and stochastic volatility, local correlation and hybrid local volatility with stochstic rates, this calibration boils down to the resolution of a nonlinear partial integro-differential equation. In a first part, we give existence results of solutions for the calibration equation. They are based upon fixed point methods in Hölder spaces and short-time a priori estimates. We then apply those existence results to the three models previously mentioned and give the calibration obtained when solving the pde numerically. At last, we focus on the algorithm used for the resolution: an ADI predictor/corrector scheme that needs to be modified to take into account the nonlinear term. We also study an instability phenomenon that occurs in certain cases for the local and stochastic volatility model. Using Hadamard’s theory, we try to offer a theoretical explanation to the instability