Un modèle des éléments finis de Lavrentiev pour le problème de Cauchy de la complétion de données : l'analyse et l'évaluation numérique

A lavrentiev-finite element model for the cauchy problem of data completion : analysis and numerical assessment

• Auteur / Autrice : Duc Thang Du
• Direction : Faker Ben Belgacem, Faten Jelassi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Technologies de l'information et des systèmes
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Compiègne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Problèmes de Steklov

Cauchy, Problème de

Mots clés libres

Régularisation de Richardson

Régularisation de Lavrentiev

Complétion de données

Problème de Steklov-Poincaré

Méthode du domaine étendu

Principe de Morozov

Condition générale de la Source

Méthode de Tikhonov

Résumé

L’analyse et la simulation numérique du problème de complétion de données, connue sous la dénomination de problème de Cauchy est le sujet de cette thèse. La méthodologie consiste d’abord à évaluer certaines des méthodes de régularisation parmi les plus populaires, telles que la méthode itérative de Richardson et la méthode de Lavrentiev, dans le cadre de la formulation variationnelle de type condensation sur le bord incomplète. Une discrétisation du problème de Steklov-Poincaré, par les éléments finis est proposée. Le problème discret est ensuite mis sous forme matricielle, qui est sévèrement mal-conditionnée. Une analyse approfondie de ce système aboutit à l’équivalence entre la méthode de régularisation de Lavrentiev et celle de Tikhonov. Il en résulte que le cadre mathématique complet développé pour la convergence de la méthode de Tikhonov s’étend tel quel à la procédure de Lavrentiev dans le cas particulier de la complétion de données. La deuxième partie de la thèse introduit un nouvel artifice basé sur l’extension du domaine de calcul pour renforcer les stratégies de régularisation connues. Ici nous mettons l’accent sur la méthode de Lavrentiev. Etant donné que la partie la plus imprécise de la solution de Cauchy calculée est condensée autour de la frontière incomplète, alors nous étendons le domaine de calcul au-delà de cette frontière, nous menons des calculs sur le domaine élargi et récupérons enfin la solution sur le domaine réel. L’amélioration des résultats numériques obtenus sont remarquables pour certaines configurations dont quelques unes nous intéressent spécialement dans notre projet de détections de points source à partir de l’EEG.

The subject of this thesis is the analysis and the numerical simulation of the date completion problem, based on an elliptic Cauchy problem. The first part of the thesis is to evaluate certain regularization methods among the most popular ones, such as the Richardson iterative method and the Lavrentiev method, where the date completion is reformulated into a condensed type variational formulation on the incomplete boundary. A finite element discretization of the Steklow-Poincaré problem is proposed. The discrete problem is represented into a matrix form, which is severely ill-conditioned. Thanks to the formulation and properties of the algebraic system, we show an equivalence between the Lavrentiev and the Tikhonov regularization methods, which means that convergence results of the latter can be extended to the former in this special case of the date completion. The second part of the thesis is devoted to the introduction of a new artifice, based on the extension of the computational domain, to strengthen some known regularization strategies. Here we emphasize on the Lavrentiev method. Observing that the main perturbation of computed solutions occur at the vicinity of the incomplete boundary, we extend the computational domain beyond this boundary, compute the solution on the extended domain, and retrieve the desired solution by a restriction on the real domain. Numerical results gives a remarkable improvment on the accuracy of the computational procedure for certain configurations, some of wich are of our interest, and are our objective in the problem of point-sources detection from EEG.