Recherche de points fixes communs sous diverses conditions de compatibilité

Research of common fixed points under various compatibility conditions

• Auteur / Autrice : Hakima Bouhadjera
• Direction : Christiane Godet-Thobie, Ahcene Djoudi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Brest en cotutelle avec Université Badji Mokhtar-Annaba
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Equipe Aménagement de l'espace et développement durable (Annaba, Algérie)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Point fixe, Théorème du

Coincidence, Théorie de la (mathématiques)

Mots clés libres

Point fixe commun

Points de coincidence

Compatibilité

Compatibilité faible

Compatibilité occasionnellement faible

Compatibilité super-faible

Continuité sous-séquentielle

Biais occasionnellement faible

Résumé

Le sujet de ce travail est l’étude de différentes conditions de compatibilités entre fonctions et multifonctions, et leur intérêt dans la recherche de points fixes communs à ces applications. Ces conditions dont l’étude apparaît essentiellement à partir des années 90 et se développe encore actuellement, s’étendent de la notion simple de commutativité de deux applications jusqu’à celles de compatibilité super-faible, de sous- compatibilité pour les couples hybrides et du concept d’applications faiblement biaisées, en passant par les notions de commutativité faible, de compatibilité, de compatibilité de divers types: type A, type B, type C, type P, de compatibilité, de compatibilité faible et de compatibilité occasionnellement faible. Dans le chapitre 1, après un bref historique des premières notions de compatibilités, un résultat d’existence de points fixes communs associant à la compatibilité faible, une condition de type Meir-Keeler est présenté. Ce résultat améliore le travail de Jha K, Pant R. P. Un théorème est aussi établi dans le même cadre, montrant l’existence d’un point fixe commun pour une infinité d’applications. Le deuxième chapitre traite de la compatibilité occasionnellement faible. Cette notion introduite par Al-Thagafi et Shahzad en 2006, utilisée dans le cadre univoque par Jungk et Rhoades (2006) est étendue au cadre multivoque par Abbas et Rhoades (2007). Nos résultats de cette partie améliorent, entre autres, ceux d’Aliouche (2007), de Mbarki (2003) et de Pathak H. , Cho Y. , Kang S. Et Madharia B. (1998) en y supprimant ou en affaiblissant des hypothèses sur la fonction implicite considérée, des hypothèses de compacité ou de continuité des applications concernées. Dans le troisième chapitre, la définition de la sous-compatibilité pour des couples hybrides nous permet de prouver des théorèmes d’existence et d’unicité de point fixe avec des conditions de type intégrai dans des espaces métriques complets et aussi dans des espaces symétriques. Les résultats obtenus dans cette partie généralisent ceux de Djoudi A. Et Aliouche A. (2007), de Pathak, Tiwari R. Et Khan M. S. (2007) ainsi que ceux de Aage C. T. Et Salunke J. N. (2009). Dans le chapitre 4, les notions de compatibilité super-faible et de continuité sous-séquentielle sont définies et utilisées pour établir des résultats de points de coïncidence et de points fixes communs dans des espaces métriques quelconques. Des résultats de Mbarki sont ainsi généralisés. Le dernier chapitre traite des applications occasionnellement faiblement biaisées. Cette notion généralise celle d’applications biaisées introduite par Jungck et Pathak (1995) et nous permet de donner des résultats dans les espaces normés, dans les espaces métriques et les espaces symétriques, - améliorant ainsi certains résultats de Ciric L. B. Et Ume J. S. (2003) et de Shahzad N. Et Sahar S. (2000).

This work consists of five parts and is focused on studying the existence and uniqueness of common fixed point for mappings which have low properties. In the first part of this work, we improve a common fixed point theorem for four compatible mappings of Jha K. , Pant H. P. And Singh, by giving a theorem with weaker conditions. Also, we give a second theorem which is an extension of the first theorem using an infinite number of mappings of Meir-Keeler type. In the second part, we extend some common fixed point theorems for single-valued mappings given by some authors as Mbarki, Aliouche and Popa, Pathak H. , Cho Y. , Kang S. And Madharia B, to single and multi-valued mappings of general type, type of Gregus and near-contractive type mappings using few conditions such as we removed the compactness required on the space in the papers of Aliouche and Popa, go we did not require continuity on any of these four mappings by using the conditions strictly contractive (2. 2) and (2. 3) which are considered more general than the inequalities cited in the earlier papers, we also weakened the definitions relating to the compatibility, compatibility of type (A), of type (C), of type (P) and weak compatibility by the occasional weak compatibility. In the third part, first, we extend several theorems given in Djoudi and Khems, Elamrani and Mehdaoui, Pathak, Tiwari and Khan to multivalued mappings by using the integral type. Then, we give two theorems for single-valued mappings which improve results of Aage and Salunke since we removed the assumptions of inclusion and continuity requirements on mappings by using occasional weak compatibility and obtain results in a set endowed with a symmetric instead of a complete metric space. In the penultimate section, we establish two new concepts: the super-weakly compatibility and the sub-sequential continuity. These definitions are weaker than occasional weak compatibility and reciprocal continuity, respectively. By using these new concepts, we can give different theorems of single-valued mappings in metric spaces. In the fifth and last part, we also introduce a new concept of the occasionally biaised compatibility. This definition is very general and the lowest at this time with regard to different types of compatibility given before counting the compatibility weakly biased and that occasional weak. We also have given some theorems winch extend in particular the results given by Ciric and Ume and also Shahzad and Sahar.