Surfaces abéliennes à multiplication quaternionique et points rationnels de quotients d'Atkin-Lehner de courbes de Shimura

par Florence Gillibert

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Pierre Parent et de Yuri Bilu.

Soutenue le 02-12-2011

à Bordeaux 1 , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Bordeaux (laboratoire) .

Le jury était composé de Pascal Autissier, Marusia Rebolledo-Dhuin, Damian Rossler.

Les rapporteurs étaient Victor Rotger, Andrei Yafaev.


  • Résumé

    Dans cette thèse nous étudions deux problèmes. Le premier est la non-existence de pointsrationnels non spéciaux sur des quotients d’Atkin-Lehner de courbes de Shimura. Le se-cond est l’absence de surfaces abéliennes rationnelles à multiplication potentiellementquaternioniques munies d’une structure de niveau. Ces deux problèmes sont liés car unesurface abélienne rationnelle simple à multiplication potentiellement quaternionique cor-respond à un point rationnel non spécial sur un certain quotient d’Atkin-Lehner de courbede Shimura.Dans une première partie nous expliquons comment vérifier un critère de Parent etYafaev en grande généralité pour prouver que dans les conditions du cas non ramifié deOgg, et si p est assez grand par rapport à q, alors le quotient X^pq/wq n’a pas de pointrationnel non spécial. Dans une seconde partie nous déterminons une borne effective pour les structures deniveaux possibles pour une surface abélienne rationnelle acquérant sur un corps quadra-tique imaginaire fixé multiplication par un ordre fixé dans une algèbre de quaternions.


  • Résumé

    In this thesis we study two problems. The first one is the non-existence of rational non-special points on Atkin-Lehner quotients of Shimura curves. The second one is the absence of rational abelian surfaces with potential quaternionique multiplication endowed with a level structure. These two problems are linked because a simple rational abelian surface with potential quaternionique multiplication is associated to a rational non-special point on an Atkin-Lehner quotients of Shimura curve. In a first part of our work we explain how to verify in wide generality a criterium of Parent and Yafaev in order to prove that in the conditions of Ogg's non ramified case, and if p is big enough compared two q, then the quotient X^{pq}/wq has no non-special rational point. In a second part we determine an effective born for possible level structures on rational abelian surfaces having, over a fixed quadratic field, multiplication by a fixed order in a quaternion algebra


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