Prolongement de faisceaux inversibles

par Cédric Pepin

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Qing Liu et de Pascal Autissier.

Soutenue le 30-06-2011

à Bordeaux 1 , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Bordeaux (laboratoire) .

Le président du jury était Laurent Moret-Bailly.

Le jury était composé de Pascal Autissier, Dino Lorenzini, Damian Rossler.

Les rapporteurs étaient Siegfried Bosch.


  • Résumé

    Soit R un anneau de valuation discrète de corps de fractions K. Soit X_K un K- schéma propre géométriquement normal. On montre que X_K possède des modèles X sur R, propres, plats, normaux et tels que tout faisceau inversible sur X_K se prolonge en un faisceau inversible sur X. On peut alors reconstruire le modèle de Néron de la variété de Picard de X_K, à partir du foncteur de Picard de X/R.Lorsque R est hensélien à corps résiduel algébriquement clos, on en tire des informations sur le prolongement de l’équivalence algébrique de X_K à X. En particulier, on peut décrire le symbole de Néron entre 0-cycles de degré zéro et diviseurs algébriquement équivalents à zéro sur X_K, en termes de multiplicités d’intersection sur le modèle X. Ceci nous permet de reformuler la conjecture de dualité de Grothendieck pour les modèles de Néron des variétés abéliennes, en termes d’équivalence algébrique relative.


  • Résumé

    Let R be a discrete valuation ring with fraction field K. Let X_K be proper geometrically normal scheme over K. One shows that X_K admits models X over R which are proper, flat, normal an such that any invertible sheaf on X_K can be extended to an invertible sheaf on X. Then, one can recover the Néron model of the Picard variety of X_K from the Picard functor of X/R.When R is henselian with algebraically closed residue field, one obtains some consequences about the extension of algebraic equivalence from X_K to X. In particular, one can describe the Néron symbol between 0-cycles of degree zero and divisors which are algebraically equivalent to zero on X_K, in terms of intersection multiplicities on the model X. This allows us to reformulate Grothendieck’s duality conjecture for Néron models of abelian varieties, in terms of relative algebraic equivalence.


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