Interactions d’ondes et de bord

• Auteur / Autrice : Alice Marcou
• Direction : Guy Métivier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/06/2011
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alain Bachelot, Sylvie Benzoni-Gavage, Vincent Bruneau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-François Coulombel, Olivier Gues

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Ondes de surface

Problèmes aux limites non linéaires

Mots clés libres

Ondes de surface

Problèmes aux limites non linéaires

Développement BKW

Développement asymptotique rigoureux

Ondes de Rayleigh non linéaires

Rectification

Élasticité

Réflexion de discontinuités

Problèmes aux limites hyperboliques non linéaires faiblement stables

Condition faible de Lopatinski

Condition (WR)

Perte d'une dérivée

Solutions striées

Surface waves

Nonlinear boundary value problems

WKB expansion

Rigorous asymptotic expansion

Non linear Rayleigh waves

Rectification

Elasticity

Reflection of discontinuities

Nonlinear weakly stable hyperbolic IBVP

Weak Lopatinski condition

(WR) condition

Loss of one derivative

Striated solutions

Résumé

Tout d'abord, des ondes de surface, solutions de problèmes aux limites hyperboliques non linéaires, sont étudiées : on construit une solution BKW sous forme de développement infini en puissance de epsilon. On le justifie rigoureusement, en construisant une solution exacte, qui admet ce développement asymptotique. On montre que la solution n'est pas nécessairement purement localisée sur la frontière, même lorsque le terme source l'est ; l'exemple d'un cas particulier de l'élasticité est traité. Ensuite, on étudie la réflexion d'ondes non linéaires discontinues, pour des problèmes aux limites hyperboliques, faiblement bien posés, ni fortement stables, ni fortement instables. On étudie comment les singularités d'une solution striée sont réfléchies lorsque la solution atteint la frontière. On prouve des estimations striées et en normes infinies. On montre qu'une discontinuité du gradient de la solution à travers un hyperplan peut être réfléchie en une discontinuité de la solution elle-même.

We first study surface waves, solutions of hyperbolic nonlinear boundary value problems. We construct BKW solutions in the weakly nonlinear regime with infinite expansion in powers of ε. We rigorously justify this expansion,constructing exact solutions, which admit the asymptotic expansions. We also show that the solution is not necessarily localized at the order O(ε∞) in the interior, even if the data are ; a particular case of elasticity is studied: we prove that fast oscillatory elastic surface waves can produce non trivial internal non oscillatory displacements.Afterwards, we study the reflection of non linear discontinuous waves, for weakly well-posed hyperbolic boundary value problems, satisfying the (WR) condition, which has been introduced in [1, 12], that is in a case where the IBVP is neither strongly stable, nor strongly unstable. We study how the singularities of a striated solution are reflected when the solution hits the boundary. We prove striated estimates and L∞ estimates and observe the loss of one derivative: we show that a discontinuityof the gradient of the solution across an hyperplane can be reflected in a discontinuity across an hyperplane of the solution itself.