Invariants d’Iwasawa dans les extensions de Lie p-adiques des corps de nombres

Iwasawa invariants in p-adic Lie extensions of number fiels

• Auteur / Autrice : Guillaume Perbet
• Direction : Christian Maire, Jérôme Poineau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 06/12/2011
• Etablissement(s) : Besançon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Louis Pasteur (Besançon ; ....-2012)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques
• Jury : Président / Présidente : Jean-François Jaulent
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Maire, Jérôme Poineau, Jean-François Jaulent, Farshid Hajir, Jean-Robert Belliard, Christophe Delaunay, François Laubie
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Farshid Hajir

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lie, Algèbres de

Algèbres non commutatives

Théorie d'Iwasawa

Mots clés libres

Théorie d'Iwasawa non commutative

Invariants d'Iwasawa

Extensions de Lie p-adiques

Formules asymptotiques

Non commutative Iwasawa theory

Iwasawa invariants

P-adic Lie extensions

Asymptotic formulas

Résumé

Le but de cette thèse est l'étude des invariants d'Iwasawa attachés aux p-groupes des classes généralisés dans les extensions de Lie p-adiques de corps de nombres.Ces invariants ont été introduits par Iwasawa pour les Zp-extensions. Les travaux de Venjakob sur la structure des modules sur l'algèbre d'Iwasawa d'un groupe de Lie p-adique ont permis d'en généraliser la définition à la théorie non-commutative. Par des techniques de descente et une étude algébrique fine de la structure des modules d'Iwasawa sur un groupe non-commutatif, on dégage des formules asymptotiques pour les p-groupes des classes généralisés le long d'une extension de corps de nombres de groupe de Galois p-valué. Ces formules ont pour paramètres les invariants d'Iwasawa de l'extension. Elles sont rendues plus précises dans le cas des Zp-extensions, où on remarque qu'un défaut de descente doit être pris en compte et est d'impact non négligeable sur le résultat final. Ces résultats asymptotiques sont ensuite exploités à l'aide de la théorie du miroir. Ceci conduit à des formules de dualité entre ramification et décomposition concernant les invariants d'Iwasawa

This thesis aim at exploring Iwasawa invariants attached to generalized p-class groups in p-adic Lie extensions of number fields. These invariants where introduced by Iwasawa for Zp-extensions. In his work on the structure of modules over the Iwasawa algebra of a p-adic Lie group, Venjakob extends the definition to the non commutative theory. Using descent techniques, along with a fine algebraic study of Iwasawa's modules structure over a non commutative group, we obtain asymptotic formulas for generalized p-class groups in a tower of number fields, with a p-valued group as Galois group. These formulas have Iwasawa invariants as parameters. They become more precise for Zp-extensions, where a significant descent default is involved. These asymptotic results are exploited thanks to reflexion theory. This leads to duality formulas between ramification and decomposition for Iwasawa invariants