Étude mathématique et numérique d'équations d'ondes aquatiques amorties

Mathematical and numerical study of damped water wave equation

• Auteur / Autrice : Georges Sadaka
• Direction : Jean-Paul Chehab
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Amiens

Mots clés

Mots clés contrôlés

Korteweg-de Vries, Équation de

Équations d'onde

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude d'ondes hydrodynamiques amorties et s'articule plus précisément autour de deux modèles : tout d'abord, l'équation de KdV forcée et amortie où nous établissons des estimations de l'amortissement dans le cas homogène et, dans le cas non homogène, nous mettons en évidence numériquement des phénomènes de régularisation Sobolev au cours du temps, calculons des solutions stationnaires mais aussi périodiques en temps. Ce type de résultats avait été obtenu d'une part numériquement, par Ghidaglia puis Goubet, pour la régularisation en temps et, d'autre part, pour les solutions périodiques par Rosa et Cabra. Nous montrons que ces phénomènes perdurent avec un amortissement encore plus faible et qui constitue un cas limite. Cette partie est complétée par une étude comparative des amortissements dans différents cas : amortissement local en espace, non local en espace et en temps. Le deuxième axe de la thèse porte sur les systèmes de Boussinesq 2D. Ici l'amortissement peut être produit par le fond. On effectue la dérivation du modèle complet des systèmes de Boussinesq 2D, avec fond variable. Pour la simulation, nous avons développé un code FreeFem++ que nous avons validé avec des résultats existants. On considère ensuite le cas du fond variable (en espace seulement ou bien en espace et en temps), ce qui constitue la situation de génération des Tsunamis. L'avantage ici est de pouvoir incorporer la bathymétrie et on regarde l'influence de la géométrie du fond sur l'énergie de l'écoulement. Les résultats numériques présentés portent sur des géométries simples mais aussi sur des situations incorporant des données réelles (simulation de Tsunamis en Méditerranée avec importation de la géographie et de la bathymétrie). Une troisième partie rassemble un travail effectué au CEMRACS 2010, qui porte sur un autre thème que celui de la thèse: les équations Grad-Shafranov et de Current Hole en MHD.

The aim of the thesis is the numerical study and the simulation of damped waterwaves and focuses on two models : first, the forced and damped Korteweg-de Vries equation where we establish some estimates of the damping in different norms in the homogeneous case and, when the equation is forced we point out numerically regularization effects in time ; we compute steady states and also time-periodic solutions. We give here numerical evidences that show that these phenomena still hold for a even weaker damping which seems to be the limit case. We complete this part by making a comparison of different damping (local and non local in space/time). For that purpose, we use an appropriate function based on the ratio of two energy norms. The second part of the thesis concerns the 2D Boussinesq system. First, we make the derivation of the whole system including the variation of the bottom. We developed a finite element code in FreeFem++ validated by comparing our results with existing ones. Then, we consider the variable bottom in space/time which is the situation of the Tsunamis. With our approach and our code, we can implement easily both bathymetry and geographic real data. We then obtained numerical results first for simple geometries this allows us to observe the influence of the bottom throughout the evolution of the energy of the wave in time. After that, we present simulations with realistic data on the generation of a Tsunami in the Mediterranean sea. Finally, we add a work realized during a summer school in scientific computing in Marseille (CEMRACS 2010) and which is independent of the topic of the thesis. It deals with Grad-Shafranov and the Current Hole equations in MHD.