Etude d'un système d'équations différentielles stochastiques : Le cliquet de Muller

• Auteur / Autrice : Julien Audiffren
• Direction : Etienne Pardoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/12/2011
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Stéphane Dhersin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Etienne Pardoux, Jean-Stéphane Dhersin, Peter Pfaffelhuber, Lorenzo Zambotti, Fabienne Castell, Pierre Pontarotti
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Peter Pfaffelhuber, Lorenzo Zambotti

Mots clés

Mots clés contrôlés

Évolution (biologie)

Modèles mathématiques

Reproduction asexuée

Reproduction (biologie)

Équations différentielles stochastiques

Mots clés libres

Population asexuée

Cliquet de Muller

Fleming-Viot

Look-down

Équations différentielles stochastiques

Comparaisons d'équations

Changement de temps

Asexual population

Muller's ratchet

Fleming-Viot

Look-down

Stochastic differential equations

Comparison arguments

Time change

Résumé

Le cliquet de Muller est un modèle mathématiques illustrant l'accumulation de mutations délétères dans une population asexuée. L'idée principale est que l'absence de recombinaison oblige les enfants à avoir au moins autant de mutations nocives que leurs parents, et au bout d'un certain temps, le nombre minimum de mutations délétères de la population, qui est donc un processus croissant, augmente : on dit alors que le cliquet clique. Le modèle du cliquet de Muller qui est étudié dans cette thèse est un système infini d'équations différentielles stochastiques de Fleming-Viot couplées. On montre dans une première partie d'abord que le cliquet s'actionne en temps fini p.s., puis que l'espérance du temps mis pour cliquer est également finie. On utilise pour cela des comparaisons d'équations stochastiques et des changements de temps. Dans une deuxième partie, on démontre que ce modèle est équivalent à un modèle du look-down modifié auquel on a ajouté des mutations et des morts. Puis dans la troisième partie on généralise le résultat de la deuxième à un cadre plus large de systèmes d'équations différentielles stochastiques.

Muller's Ratchet is a model from evolutionary theory describing the accumulation of deleterious mutations in asexually reproducing population. The lack of recombination implies that children have all the deleterious mutations of his parent. The minimal number of deleterious mutations carried in the population is an non-decreasing process, and if it increases we say that the Muller's ratchet clicks. The model studied in this thesis is an infinite system of stochastic differential equations. In the first chapter, we first prove that the ratchet clicks in finite time a.s., then that the clicking time has finite expectation. For this we use comparison arguments and time changes. In the second chapter, we prove that this model is equivalent to a modified look-down model with mutation and selection. In the third chapter we generalize the results of chapter 2 to a more general model.