Généralisation d'une méthode de petites simplifications due à Mikhaïl Gromov et Yann Ollivier en géométrie des groupes

par Rémi Cuneo

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Hamish Short.

Soutenue le 21-03-2011

à Aix-Marseille 1 , dans le cadre de Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille) .

Le président du jury était Martin Lustig.

Le jury était composé de Hamish Short, Martin Lustig, Paul E Schupp, François Dahmani, Martin R. Bridson, Thierry Coulbois, José Burillo.

Les rapporteurs étaient Paul E Schupp, François Dahmani.

mots clés

• Combinatoire
• Diagramme
• Entrelacs
• Géométrie
• Graphe
• Groupe
• Hyperbolique
• Noeud
• Topologie
• Isopérimétrique
• Groupes, Théorie des
• Analyse combinatoire
• Théorie des graphes
• Topologie algébrique

Résumé

Dans un article publié en 2003, M.Gromov propose une reformulation de la théorie des petites simplifications en géométrie des groupes. Dans cette version, un graphe fini définit une présentation finie de groupe; les générateurs du groupe sont les étiquettes du graphe; les relateurs sont les mots associés aux cycles; les morceaux, mots "courts " qui permettent les petites simplifications dans un groupe, sont des mots qui étiquettent deux chemins distincts du graphe. Cette thèse prend pour point de départ une brève description de cette théorie publiée par Y. Ollivier en 2006. Le concept de groupe de présentation finie à "petites simplifications", développé par R. Lyndon, M. Greendlinger et autres dans les années 60 et 70, est précurseur des groupes hyperboliques de M.Gromov à la fin des années 80, pour lesquels les propriétés combinatoires de la présentation entraînent des propriétés algébriques du groupe. Dans notre travail, nous fondons de manière rigoureuse la théorie des petites simplifications du point de vue des graphes, et développons le concept de base de "mégatuiles", utilisé implicitement par Y. Ollivier dans son article. Nous étendons ses résultats aux cas non-hyperboliques et non-métriques (par exemple C(4)-T(4)). Ce point de vue permet une nouvelle preuve, plus naturelle, de la résolubilité des problèmes du mot et de conjugaison pour les présentations des groupes des entrelacs alternés premiers. Nous prolongeons également les résultats d'un théorème de M. Greendlinger au cas non-métrique, répondant ainsi à une question d'I. Kapovich.

mots clés

• Combinatorial
• Diagram
• Geometry
• Graph
• Group
• Hyperbolic
• Isoperimetric
• Knot
• Link
• Topology

Résumé

In a paper published in 2003, M.Gromov proposes a rewording of the small cancellation theory in geometric group theory. In this version, a finite graph defines a finitely presented group; generators of the group are the labels of the graph; relators are the words associated with cycles; pieces, "short" words which allow small cancellations in a group, are words which label two distinct paths in the graph.Our thesis relies on a brief description of this theory published in2006 by Y.Ollivier. The concept of finitely presented "small cancellation" group, developed by R.Lyndon, M.Greendlinger and others in the 60's and 70's, is a precursor of Gromovword-hyperbolic groups in the late of the 80's, for which combinatorial properties of the presentation imply algebraic properties of the group. In our work, we build a rigorous small cancellation theory in terms of graphs, and develop the basic concept of "megatiles", implicitly used by Y. Ollivier in his article. We extend his results to non-hyperbolic and non-metric cases (eg. C(4)-T(4)). This point of view allows a new proof, more natural, of thesolvability of word and conjugacy problems for presentations of prime alternating link groups. We also extend the results of a M.Greendlinger theorem to thenon-metric case, in response to a question of I. Kapovich.