Théorèmes limites pour des martingales vectorielles en temps continu et applications statistiques

Limit theorems for continous time vector-valued martingals and statistical applications

• Auteur / Autrice : Hamdi Fathallah
• Direction : Abdelkader Mokkadem
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Versailles-St Quentin en Yvelines

Mots clés

Mots clés contrôlés

Moindres carrés

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Martingales (mathématiques)

Résumé

Cette thèse se compose de trois chapitres. Dans le premierchapitre, en utilisant les théorèmes limites par moyennisationlogarithmique pour des martingales continues en temps continu, onconstruit un estimateur du couple \theta,\sigma^{2}) pour unmodèle autorégressif gaussien stable à temps continu et on montreque cet estimateur est asymptotiquement distribué comme un couplede variables al\éatoires gaussiennes ind\épendantes quelle que soitla loi de l'état initial _{0}. Le second chapitre est consacréà établir des résultats autour du théorème limitepresque-sûre pour des martingales vectorielles quasi-continues àgauche en temps continu et à croissance explosive ou mixte. Onapplique les résultats obtenus au modèle d'Ornstein-Uhlenbeckbivarié utilisé en modélisation biologique et en math\ématiquesfinancières. Dans le dernier chapitre, on établit pourl'estimateur des moindres carrés \hat{\theta} de \theta d'unmodéle autorégressif gaussien à temps continu non nécessairementstable, un TLCPS, une loi forte quadratique associée au TLCPS et unthéorème de la limite centrale logarithmique. Dans le cas stable,on propose d'utiliser l'estimateur des moindres carrés pondérés\tilde{\theta} de \theta pour améliorer les vitesses deconvergences logarithmique dans les théorèmes obtenus. Dans le casinstable, on établit pour l'estimateur des moindres carrés\hat{\theta}, le m\^eme type de propriétés asymptotiques avecune vitesse de convergence arithmétique

This thesis consists of three chapters. In the first chapter, for astable gaussian autoregressive model in continuous time, by anaveraging method we construct an estimator of the couple (\theta,\sigma^2) without discretization of the observed process. Thisestimator is shown to be asymptotically distributed as a couple ofindependent gaussian random variables for any given initial state X_0 is. In the second chapter, we establish several results aroundthe almost-sure central limit theorem for a quasi-left continuousvector martingale with explosive and mixed growth. We employ theobtained results in order to complete the existing literature onconvergence rates in the parameter estimation problem for abivariate Ornstein-Uhlenbeck model frequently used in mathematicalfinance and biological modeling. In the last chapter, for a gaussianautoregressive model in continuous time, we establish for theleast-square estimate \hat{\theta} of\theta, an almost-surecentral limit theorem (ASCLT), a quadratic strong law associatedwith ASCLT (QSL) and a logarithmic central limit theorem (LCLT). Instable case, we suggest using the weight least-square estimate\tilde{\theta} of\theta to improve a logarithmic convergencerates in the obtained theorems. In unstable case, we establish forthe least-square estimate \hat{\theta} of \theta, the same typeof asymptotic properties with an arithmetical convergence rates.