On the Arnol'd tongues for circle homeomorphisms

A propos des langues d'Arnol'd pour homéomorphismes du cercle

• Auteur / Autrice : Kuntal Banerjee
• Direction : Xavier Buff
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cercle

Homéomorphismes

Mots clés libres

Applications du cercle

Langues d'Arnol'd

Largeur des langues

Ordre de contact des bords des langues rationnelles

Famille standard

Résumé

Pour une famille ( F_{t,a}:x->x+t+a phi(x) ) d'homéomorphismes croissants de R avec phi Lipschitz et continue de période 1, il y a un espace de paramètres de valeurs (t,a) pour lesquelles F_{t,a} est strictement croissant et induit un homeomorphisme du cercle préservant l'orientation. Pour theta dans R, il y a dans cet espace de paramètre une langue d'Arnol'd T_theta de nombre de translation theta. Dans cette thèse, on étudie l'allure des langues rationnelles. Etant donné un rationnel p/q, le bord de T_{p/q} est l'union de deux courbes Lipschitz qui s'intersectent en a=0 et il peut y avoir un angle non nul entre ces deux courbes. Quand phi est analytique, on étudie la largueur de ces langues rationnelles dans la tranche a=a_0 lorsque l'on se rapproche de (t_0,a_0) pour lequel F_{t_0,a_0} a une bande de Herman de nombre de translation alpha irrationnel. Dans ce cas, on montre que la largeur de T_{p_N/q_N} décroît exponentiellement par rapport à q_n, où (p_n/q_n) sont les réduites de alpha. Pour la famille standard ( S_{t,a} : x->x+t+asin(2 pi x) ), le courbes bordant T_{p/q} se touchent et q est leur ordre de contact. En utilisant la notion de famille admissible guidée, on en donne une nouvelle preuve. En particulier, on relie ceci à la multiplicité parabolique de l'application s_{p/q} : z-> exp(i2 pi p/q) z exp(pi z) en 0 et on généralise ce résultat pour les familles admissibles guidées.

For a family ( F_{t,a}:x->x+t+a phi(x) ) of increasing homeomorphisms of R with phi being Lipschitz continuous of period 1, there is a parameter space consisting of the values (t,a) such that the map F_{t,a} is strictly increasing and it induces an orientation preserving circle homeomorphism. For each theta in R, there is an Arnol'd tongue T_theta of translation number theta in the parameter space. We study the shape of the rational tongues in this thesis. Given a rational p/q, the boundary of T_{p/q} is a union of two Lipschitz curves which intersect at a=0 and there can be a non zero angle between them. When phi is analytic, we study the widths of these rational tongues on the slice a=a_0 as we approach a parameter (t_0,a_0) such that F_{t_0,a_0} has a Herman strip of translation number alpha in R-Q. In this case we prove that the width of T_{p_n/q_n} at height a_0 decreases exponentially fast with respect to q_n, where (p_n/q_n) are the convergents of alpha. For the standard family ( S_{t,a} : x->x+t+asin(2 pi x) ), the boundary curves of T_{p/q} touch each other and q is their order of contact. Using the techniques of guided admissible family, we give a new proof of this. In particular we relate this to parabolic multiplicity of the map s_{p/q} : z-> exp(i2 pi p/q) z exp(pi z) at 0 and generalize this result for guided admissible families.