Analyse et géométrie dans les espaces métriques mesurés : inégalités de Borell-Brascamp-Lieb et conjecture de Olkin-Shepp

Analysis and geometry in metric-measure spaces : Borell-Brascamp-Lieb and Olkin-Shepp conjecture

• Auteur / Autrice : Erwan Hillion
• Direction : Michel Ledoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Inégalités (mathématiques)

Transport optimal de mesure

Espaces métriques

Mots clés libres

Courbure de Ricci

Transport optimal

Entropie relative

Conjecture de Olkin-Shepp

Inégalités fonctionnelles

Somme de variables de Bernoulli indépendantes

Résumé

Les travaux menés durant cette thèse sont basés sur la théorie des espaces de longueurs mesurés à courbure de Ricci uniformément minorée initiée par Sturm, Lott et Villani, utilisant de profonds résultats venant de la théorie du transport optimal. Dans une première partie, nous étudions deux familles d'inégalités fonctionnelles, dites de Prékopa-Leindler et de Borell-Brascamp-Lieb, et montrons qu'elles permettent de donner une définition alternative aux bornes sur la courbure de Ricci, satisfaisant un cahier des charges similaire à celui rempli par la condition CD(K,N) de Sturm, Lott et Villani. La seconde partie est consacrée à la recherche d'une généralisation de la définition de Sturm-Lott-Villani au cadre des espaces discrets. Un accent particulier est mis sur le problème de la translation de mesures de probabilité sur un graphe linéaire, et à l'étude de la convexité de l'entropie le long d'une telle translation. L'expression d'une telle translation sous forme d'un convolution binomiale a permis d'éclairer sous un nouvel angle une conjecture formulée par Olkin et Shepp, relative à l'entropie des sommes de Bernoulli indépendantes, et de la démontrer dans un cas particulier.

The work done during this PhD thesis is based on the theory of Ricci curvature bounds in measured length spaces, developed by Sturm, Lott and Villani, using deep results coming from the optimal transportation theory. In a first part, we study two families of functional inequalities, called Prékopa-Leindler and Borell-Brascamp-Lieb inequalities, and show that they allows us to give an alternate definition to Ricci curvature bounds, satisfying a "wishlist" similar to the one fulfilled by the Sturm-Lott- Villani condition CD(K,N). The second part is about a possible generalization of Sturm-Lott-Villani definition in a discrete setting. We emphasise the case of the translation of probability measures on a linear graph, and study the convexity of entropy along such a translation. The expression of this translation as a binomial convolution enlightens a conjecture stated by Olkin and Shepp about the entropy of sums of idependent Bernoulli random variables, for which we give a partial proof.