Étude d'une méthodologie multiéchelles appliquée à différents problèmes en milieu continu et discret

Study of a multiscale methodology applied to various problems on continuous and discrete area

• Auteur / Autrice : Laetitia Carballal Perdiz
• Direction : Pierre Degond, Raphaël Loubère
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse multiéchelle

Mots clés libres

Méthodologie multiéchelles

Méthode des éléments finis

Méthode de pénalisation

Milieu hétérogène

Problèmes physiques

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des problèmes multiéchelles, c'est-à-dire présentant des échelles très fines dont les effets ont un impact non négligeable. La résolution mathématique est souvent très difficile et une résolution numérique précise nécessite des discrétisations coûteuses en temps et en mémoire. Notre objectif est la mise en place d'une méthodologie multiéchelles générale fondée sur la méthode des éléments finis multiéchelles (MsFEM). Cette méthodologie est le socle de cette thèse. Elle est testée et validée pour des problèmes multiéchelles représentatifs de situations réelles dans divers contextes (en milieu continu et discret) : mécanique des solides, mécanique des fluides, électrocinétique et modélisation de réseau de distribution. Nous validons d'abord numériquement différentes variantes de MsFEM sur le cas d'une fissure. Nous vérifions ensuite l'efficacité de la méthodologie dans un contexte de simulation en temps réel de propagation de polluant en milieu urbain, en développant de nouvelles techniques d'amélioration de MsFEM et en la couplant avec une méthode de pénalisation. Nous développons aussi des méthodes, issues de la méthodologie, pour des milieux discrets à grand nombre d'inconnues : un réseau électrique et un réseau de distribution de biens. Ce dernier nécessite un travail de modélisation. Nous montrons ainsi la pertinence de la méthodologie multiéchelles.

In this thesis, we have interested in multiscale problems meaning problems with very fine scales which effects have non negligible impact. The mathematical resolution is often very difficult and a numerical resolution requires demanding discretizations in terms of memory and CPU time. Our purpose has been to develop a general multiscale methodology founded on the multiscale finite element method (MsFEM). This methodology has been the basis of our work. We have developed, tested and valided the methodology for multiscale problems. These problems has been representative of real situations from various contexts (continuous and discrete area) : solids mechanics, fluids mechanics, electrokinetic and distribution network modelling. First we have validated several MsFEM variants applied to a fissure problem. Then, we have mesured the methodology efficiency in a real time simulation of pollutant propagation in urban area context. Moreover, we have improved MsFEM and further coupled with a penalisation method. We have also developed extensions, derived from the same methodology, for discrete area dealing with many unknowns. The contexts of this study have been electric and distribution networks. The later has required some modelling. Thus we have illustrated the efficiency of the multiscale methodology on these various contexts.