Sur les cohomologies des variétés de Griffiths-Schmid du groupe SU(2,2)

On the cohomology of Griffiths-Schmid varieties on the group SU(2,2)

• Auteur / Autrice : Benjamin Charbord
• Direction : Henri Carayol
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Strasbourg

Mots clés

Mots clés contrôlés

Faisceaux, Théorie des

Cohomologie

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse, sous deux aspects différents, à la cohomologie des variétés de Griffiths-Schmid attachées à une forme anisotrope du groupe SU(2,2). Ces variétés ont l'avantage, au contraire des variétés de Shimura, de parfois faire apparaître dans leur cohomologie des limites dégénérées de séries discrètes. La première partie étudie ce phénomène dans le cas des limites totalement dégénérées. On prouve que les classes attachées à ces représentations peuvent s'exprimer comme cup-produits d'autres classes attachées à des séries discrètes. La seconde partie étudie les liens entre deux différentes variétés de Griffiths-Schmid obtenues à partir de deux structures complexes. L'une est celle considérée dans la première partie, et l'autre est fibrée holomorphiquement sur une variété de Shimura. On prouve l'existence d'une application bijective entre certains espaces de cohomologie, en s'appuyant sur une interprétation en termes de fonctions holomorphes de la cohomologie de Dolbeault. Ce résultat est généralisé dans l'annexe aux cas des groupes SU(n,n) et SU(n+1,n).

In this thesis we are interested in the cohomology of Griffiths-Schmid varieties on (an anisotropic form of) the group SU(2,2), under two different aspects. These varieties have the advantage, unlike Shimura varieties, that sometimes degenerate limits of discrete series occur in their cohomology. The first part studies this phenomenon in the case of totally degenerate limits. We prove that classes attached to these representations can be expressed in terms of other classes attached to discrete series. In the second part we study the link between two different Griffiths-Schmid varieties obtained by considering two complex structures. The first one is the variety considered in the first part, and the other one is holomorphically fibered on a Shimura variety. We prove the existence of a one-to-one correspondence between some cohomology spaces, using a holomorphic version of Dolbeault cohomology. This last result is generalized to groups SU(n,n) and SU(n+1,n).