Codes correcteurs avec les polynômes tordus

Codes with skew polynomial rings

• Auteur / Autrice : Lionel Chaussade
• Direction : Felix Ulmer
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Idéaux (algèbre)

Corps finis

Polynômes

Gröbner, Bases de

Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)

Résumé

Les anneaux de polynômes sont l’un des outils privilégiés pour construire et étudier des familles de codes correcteurs. Nous nous proposons, dans cette thèse, d’utiliser des anneaux de Ore, qui sont des anneaux de polynômes non-commutatifs, afin de créer des codes correcteurs. Cette approche nous permet d’obtenir des familles de codes correcteurs plus larges que si l’on se restreint au cas commutatif mais qui conservent de nombreuses propriétés communes. Nous obtenons notamment un algorithme qui permet de fabriquer des codes correcteurs dont la distance de Hamming ou la distance rang est prescrite. C’est ainsi que nous avons exhibé deux codes qui améliorent la meilleure distance minimale connue pour un code de même longueur et de même dimension. L’un est de paramètres [42; 14; 21] sur le corps F8 et l’autre de paramètres [40; 23; 10] sur F4. La généralisation de cette étude au cas d’anneaux polynomiaux multivariés est également présentée ; l’outil principal est alors la théorie des bases de Gröbner qui s’adapte dans ce cadre non-commutatif et permet de manipuler des idéaux pour créer de nouvelles familles de codes correcteurs.

We generalize the notion of cyclic code and we construct codes as ideals in finite quotients of non-commutative polynomial rings, so called Ore rings. We propose a method to obtain block codes of prescribed rank or Hamming distance. In particular we construct a [42; 14; 21]8 code by imposing a rank and a [40; 20; 10]4 code by imposing a distance, which both improve by one the minimum distance of the previously best known linear codes with the same length and dimension over those fields. We also study some multivariate Ore rings and the generalization of the Buchberger’s algorithm allows us to manipulate the ideals of these rings and to build skew codes. We obtain, in particular, the generator matrix in the standard form.