Quelques aspects de l'arithmétique des courbes hyperelliptiques de genre 2

par Oumar Diao

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de David Lubicz et de Mamadou Sangharé.

Soutenue en 2010

à Rennes 1 , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes) , en partenariat avec Université européenne de Bretagne (autre partenaire) .

mots clés

• Courbes elliptiques

Résumé

Dans ce mémoire, on s'intéresse aux briques utiles à la cryptographie asymétrique et principalement au problème du logarithme discret. Dans une première partie, nous présentons un survol de différentes notions algorithmiques de couplages sur des jacobiennes de courbes de genre 2 et décrivons les détails d'une implémentation soigneuse. Nous faisons une comparaison à niveau de sécurité équivalent avec les couplages sur les courbes elliptiques. Une deuxième partie est dévolue à la recherche de modèles efficaces pour les courbes elliptiques et les surfaces de Kummer non-ordinaires en caractéristique 2. Pour le genre 1, nous obtenons que lemodèle d'Edwards binaire se déduit du modèle d'Edwards classique en caractéristique zéro. Pour le genre 2, nous utilisons des techniques de « déformation » qui consistent à considérer une famille de jacobiennes sur un anneau des séries formelles, telle que la fibre génératrice soit ordinaire et la fibre spéciale soit la jacobienne considérée. Il s'agit alors de montrer que la loi de groupe sur la fibre génératrice s'étend à tout le modèle. Nous comparons les lois de composition ainsi obtenues avec celles déjà connues.

Titre traduit

Some aspects of arithmetic of genus 2 hyperelliptiques curves

Résumé

In this report, we are interested in basic building blocs for asymmetric cryptography and mainly on the discrete logarithm problem. In the first part, we present an overview of different pairings on Jacobians of curves of genus 2 and describe the details of a careful implementation. We make a comparison with the same level of safety pairings on elliptic curves. A second part is devoted to finding effective models for elliptic curves and non-ordinary Kummer surfaces in characteristic 2. For genus one, we obtain that the binary model of Edwards is derived from the classical model of Edwards in characteristic zero. For genus 2, we use techniques of « distortion » which consist in considering a family of Jacobians over a ring of formal series, such as the generic fiber is regular and the special fiber is considered the Jacobian. It is then to show that the group law on the generic fiber extends to the whole model. We compare the laws of composition thus obtained with those already known.