Etude théorique et numérique d'états stationnaires localisés pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec potentiel quadratique

Theoretical and numerical study of localized stationary states for nonlinear Schrödinger equation with quadratic potential

• Auteur / Autrice : Fouad Hadj Selem
• Direction : Laurent Di Menza
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Reims

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stationnaires

Calculs numériques

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Potentiel quadratique, Brézis - Niremberg, Exposant critique, Exposant surcritique, Problèmes sans compacité

Résumé

L'objet de ce travail est l'étude de la structure des ondes stationnaires radialement symétriques pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec un potentiel harmonique. Les comportements global et local de la bifurcation sont déterminés indiquant l'existence d'une infinité d'états localisés symétriques. En particulier, notre théorie fournit une preuve théorique de l'existence d'une solution avec un nombre de zéros prescrit en fonction de la fréquence de l'onde. Après une étude théorique du trois cas , des calculs numériques sont présentés dans la deuxième partie de cette thèse, en vue de fournir une illustration des résultats théoriques obtenus et aussi d'aborder des problèmes pour lesquels peu de résultats théoriques sont connus, notamment la stabilité des états excités et la multiplicité des solutions s'annulant k fois dans le cas critique et surcritique (phénomène de Brézis-Nirenberg)

We study the structure of radially symmetric standing waves for the nonlinear Schrodinger equation with harmonic potential. This equation arises in a wide variety of applications and is known as the Gross-Pitaevskii equation in the context of Bose-Einstein condensates with parabolic traps. Both global and local bifurcation behavior are determined showing the existence of infinitely symmetric modes of the equation. In particular, our theory provides a theoretical proof of the existence of soliton with prescribed numbers of zeros depending on the frequency of wave which was recently observed by numerical simulations. After a theoretical study of the three cases, numerical computations are finally presented in order to provide an illustration of the theoretical results that have been obtained and also to the to address some problems for which only few results are known, including the stability of excited states and the multiplicity of solutions vanishing k times in the critical and supercritical case (Brezis-Nirenberg phenomenon)