Nouvelle approche de la méthode D-Bar pour la résolution du problème de conductivité inverse

New approach of DBar method to solve the inverse conductivity problem

• Auteur / Autrice : Toufic El Arwadi
• Direction : Hassan Emamirad, Serge Huberson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Poitiers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Transformations (mathématiques)

Problèmes inverses (équations différentielles) -- Solutions numériques

Résumé

Cette thèse a pour objectif de reconstruire la conductivité isotrope d'un domaine borné à partir des données sur le bord. Pour cela, nous considérons le problème de conductivité inverse et on utilise les méthodes du Dbar de Nachman et de Brown-Uhlmann. A partir des données aux bords, ces méthodes consistent à calculer une fonction complexe dite la transformée scattering, ensuite calculer la conductivité en résolvant une équation (qui contient la transformée scattering) dite l'équation Dbar. Pour des raisons de stabilité, nous approchons les transformées scattering par plusieurs façons et nous étudions l'erreur de ces approximations. Nous montrons la stabilité des méthodes Dbar via les approximations des transformées scattering. Nous étudions en détails le cas des conductivités radiales et nous obtenons des expressions explicites des approximations des transformées scattering. Nous utilisons la méthode de Vainikko pour la résolution numérique de l'équation Dbar et nous introduisons un schéma de point fixe et nous étudions sa convergence. Les résultats numériques obtenus montrent que la méthode est efficace et justifient nos résultats théoriques.

This thesis aims to reconstruct the isotropic conductivity of a bounded domain from data available on the boundary of this domain. For this, we consider the inverse conductivity problem, and we use the Dbar methods of Nachman and Brown-Uhlmann. Based on boundary data, these methods consist on calculating a complex function called the scattering transform, then calculating the conductivity by solving an eqution (which contains the scattering transform) called the Dbar equation. For stability reasons, we approach the scattering transform by several ways and we study the errors of these approximations. We study in details the case where the conductivity is radial and we obtain explicit expressions for the approximations of the scattering transforms. We use Vainikko method to solve the Dbar equation, and we introduce the fix point scheme and we study its convergence. The numerical results show the efficacity of the Dbar methods and justify our theoretical results