Études de problèmes aux limites non linéaires de type pseudo-paraboliques

Study of the non linear boundary problems of the pseudo parabolic type.

• Auteur / Autrice : Ngonn Seam
• Direction : Guy Vallet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Pau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles dégénérées

Modèles mathématiques

Résumé

L’objectif de ce travail est l’étude du problème non linéaire de type pseudo parabolique suivant : trouver une fonction mesurable u de Q:=]0,T[ imes \Omega à valeur réelle, solution du problème egin{equation*}\left\{ egin{array}{l@{\quad}l}f\left(t,x,u_t ight)-Div \left\{a\left(x,u,u_t ight) abla u+b\left(x,u,u_t ight) abla u_t ight\}=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(t,x)=0,\; (t,x)\in ]0,T[ imes \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ nd{array} ight. nd{equation*} où l’opérateur de Nemystkii associé à la fonction f est monotone. Un premier chapitre est consacré à l’étude de l’existence d’une solution pour le problème ci-dessus. Pour cela, on utilise une méthode de semi-discrétisation implicite en temps. L’existence des itérés repose sur le théorème de point fixe de Schauder-Tikhonov et la convergence du schéma sur un outil de compacité adapté à la situation. À la fin du chapitre, on propose des applications à l’équation de Barenblatt et au cas d’un d'un f multivoque. Dans le second chapitre, on s’intéresse au problème de Barenblatt pseudo-parabolique : rechercher une fonction mesurable u de Q à valeur réelle telle que egin{equation*} \left\{ egin{array}{l@{\quad}l} f\left(u_t ight)-\Delta u- psilon \Delta u_t=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(t,x)=0,\; (t,x)\in ]0,T[ imes \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ nd{array} ight. nd{equation*} où f n’est pas nécessairement monotone. Pour psilon> psilon_0>0 , où psilon_0 est une valeur critique, on montre que le problème est bien posé en utilisant une méthode similaire à celle du premier chapitre. Pour la valeur critique, le problème admet au plus une solution ; cette dernière existe moyennant une hypothèse supplémentaire sur f. Enfin, si 0< psilon< psilon_0, la solution n’est pas unique en général. On propose enfin d’une approche stochastique de l’équation pseudo-parabolique de Barenblatt-Sobolev. Le dernier chapitre propose des simulations numériques monodimensionnelles ; notamment, on s’intéresse à la perturbation singulière pseudo-parabolique lorsque la diffusion moléculaire change de signe.