Groupe de réflexion, géometrie du discriminant et partitions non-croisées

Reflection groups, geometry of the discriminant and noncrossing partitions

• Auteur / Autrice : Vivien Ripoll
• Direction : David Bessis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Treillis, Théorie des

Théorie des groupes

Mots clés libres

Groupe de reflexion complexe

Partitions non croisées

Nombres de Fuss-Catalan

Formule de Chapoton

Résumé

Lorsque W est un groupe de réflexion complexe bien engendré, le treillis NCP_W des partitions non-croisées de type W est un objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions non-croisées d'un n-gone, et intervenant dans divers contextes algébriques (monoïde de tresses dual, algèbres amassées. . . ). De nombreuses propriétés combinatoires de NCP_W sont démontrées au cas par cas, à partir de la classification des groupes de réflexion. C'est le cas de la formule de Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis NCP_W en fonction des degrés invariants de W. Les travaux de cette thèse sont motivés par la recherche d'une explication géométrique de cette formule, qui permettrait une compréhension uniforme des liens entre la combinatoire de NCP_W et la théorie des invariants de W. Le point de départ est l'utilisation du revêtement de Lyashko-Looijenga (LL), défini à partir de la géométrie du discriminant de W. Dans le chapitre 1, on raffine des constructions topologiques de Bessis, permettant de relier les fibres de LL aux factorisations d'un élément de Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l'action d'Hurwitz du groupe de tresses B_n sur certaines factorisations. Le chapitre 2 porte sur certaines extensions finies d'anneaux de polynômes, et sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions définies par un revêtement LL. On en déduit - sans utiliser la classification - des formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d'un élément de Coxeter de W en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles du discriminant et du jacobien de LL.

When W is a well-generated complex reflection group, the noncrossing partition lattice NCP_W of type W is a very rich combinatorial object, extending the notion of noncrossing partitions of an n-gon. This structure appears in several algebraic setups (dual braid monoid, cluster algebras. . . ). Many combinatorial properties of NCP_W are proved case-by-case, using the classification of reflection groups. It is the case for Chapoton's formula, expressing the number of multichains of a given length in the lattice NCP_W, in terms of the invariant degrees of W. This thesis work is motivated by the search for a geometric explanation of this formula, which could lead to a uniform understanding of the connections between the combinatorics of NCP_W and the invariant theory of W. The starting point is to use the Lyashko-Looijenga covering (LL), based on the geometry of the discriminant of W. In the first chapter, some topological constructions of Bessis are refined, allowing to relate the fibers of LL with block factorisations of a Coxeter element. Then we prove a transitivity property for the Hurwitz action of the braid group B_n on certain factorisations. Chapter 2 is devoted to certain finite polynomial extensions, and to properties about their Jacobians and discriminants. In Chapter 3, these results are applied to the extension defined by the covering LL. We deduce - with a case-free proof- formulas for the number of submaximal factorisations of a Coxeter element in W, in terms of the homogeneous degrees of the irreducible components of the discriminant and Jacobian for LL.