Groupes d'automates et Cstar-algèbres

Automata groups and Cstar-algebras

• Auteur / Autrice : Jean-François Planchat
• Direction : Andrzej Zuk
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

C*-algèbres

Groupes d'automorphismes

Mots clés libres

Cstar-algèbres

Résumé

Cette thèse se propose d'introduire et d'étudier quelques Cstar-algèbres naturellement associées à tout sous-groupe de type fini SGS du groupe des automorphismes d'un arbre enraciné régulier. On s'intéressera particulièrement au cas où SGS est un groupe d'automate afin d'illustrer, et parfois préciser, les propriétés de ces algèbres. Deux chapitres seront consacrés à l'étude du point suivant : étant donné une de ces Cstar-algèbres, sous quelles conditions sur SGS cette dernière contient-elle la Cstar-algèbre régulière de SGS ? Nous verrons que cette question est reliée à la taille des stabilisateurs de sous-arbres ; nous étudierons ainsi ces sous-groupes dans le cas où SGS est un groupe d'automate. Par ailleurs, nous montrerons que ces algèbres permettent parfois d'obtenir des résultats sur la Cstar-algèbre régulière du groupe et sur certaines algèbres introduites par V. Nekrashevych.

This PHD dissertation aims to introduce and study some Cstar-algebras naturally associated with any finitely generated subgroup SGS of the automorphism group of a regular rooted tree. We will especially be interested with the case of SGS an automata group, in order to illustrate, and sometimes specify the properties of these algebras. Two chapters will be devoted to the study of the following point: given one of these Cstar-algebras, under what conditions on the group SGS does this latter algebra contain the regular Cstar-algebra of SGS? We will see that this question is related to the size of the stabilizers of sub-trees; we will thus study these subgroups when SGS is an automata group. Besides, we will show that these algebras sometimes allow to obtain results on the regular Cstar-algebra of the group and on certain algebras introduced by V. Nekrashevych.