Sur les infini-groupoïdes de Grothendieck et une variante infini-catégorique

On Grothendieck's infinity-groupoids and an infinity-categorical variant

• Auteur / Autrice : Dimitri Ara
• Direction : Georges Maltsiniotis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Grothendieck, Groupes de

Catégories (mathématiques)

Homotopie

Résumé

Dans Pursuing Stacks, Grothendieck conjecture l'existence d'une structure algébrique de infmi-groupoïde faible qui encoderait toute l'information homotopique d'un espace topologique. En particulier, on aurait une équivalence de catégories entre un localisé adéquat de la catégorie des infmi-groupoïdes faibles et la catégorie homotopique. Maltsiniotis a remarqué en 2006 que le texte de Grothendieck contient une définition parfaitement précise de infini-groupoïde faible fondé sur la notion de cohérateur. Par ailleurs, Maltsiniotis a introduit une variante de la définition de Grothendieck conduisant à une notion de infini-catégorie faible. Ces deux notions sont le point de départ de cette thèse. D'autres définitions de infini-catégorie faible ont été proposées. Une grande partie de cette thèse est consacrée à la comparaison des infini-catégories de Grothendieck-Maltsiniotis à celle de Batanin-Leinster. Pour cela, on introduit une notion de théorie globulaire homogène au-dessus de la catégorie Thêta de Joyal, et on montre que celle-ci est équivalente à la notion de omega-opérade de Batanin. On montre également, sous une conjecture technique liée à la définition des cohérateurs, que les infini-catégories de Batanin-Leinster sont un cas particulier des infini-catégories de Grothendieck-Maltsiniotis. Dans un deuxième temps, on étudie l'analogue groupoïdale Thêta- de la catégorie Thêta de Joyal. On montre que Thêta- est une catégorie test stricte. En particulier, la catégorie homotopique des préfaisceaux sur celle-ci est équivalente à la catégorie homotopique. Ce résultat est un pas en direction du programme de Maltsiniotis pour démontrer la conjecture de Grothendieck.

In Pursuing Stacks, Grothendieck conjectures the existence of an algebraic structure of weak infmity-groupoid which would encode the whole homotopical information of a topological space. In particular, we would have an equivalence of categories between an appropriate localisation of the category of weak infinity-groupoids and the homotopy category. Maltsiniotis noticed in 2006 that Grothendieck's text actually contains a definition of weaked infinity-groupoid based on the notion of coherator. Besides, Maltsiniotis introduced a variant of Grothendieck's definition which leads to a notion of weak infinity-category. Thèse two notions are the starting point of this thesis. Other definitions of weak infinity-category have been proposed. The main part of this thesis is dedicated to the comparison of Grothendieck-Maltsiniotis's infinity-categories to Batanin-Leinster's one. For this purpose, we introduce a notion of homogeneous globular theory over Joyal's category Thêta, and we show that it is equivalent to the notion of Batanin's omega-operad. We also show, under a technical conjecture related to the definition of coherators, that Batanin-Leinster's weak infinity-categories are a special case of Grothendieck-Maltsiniotis infinity-categories. In a second part, we study the groupoidal version Thêta- of Joyal's category Thêta. We show that Thêta- is strict test category. In particular, the homotopy category of presheaves on it is equivalent to the homotopy category. This result is a step toward Maltsiniotis's strategy to prove Grothendieck's conjecture.